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Ejercicios

Hemos querido evitar los ejercicios clásicos de probabilidad a base de problemas de urnas o de variables aleatorias abstractas. El énfasis está, más bien, en la comprensión concreta y algorítmica de las nociones del curso, insistiendo en la verificación experimental de los cálculos de probabilidades. Para programar los algoritmos simples que se proponen, aconsejamos utilizar un sistema del tipo de Scilab.

Ejercicio 1   Se consideran algoritmos que tratan de simular el lanzamiento de un dado... aunque algunos hagan trampas. Para cada uno de ellos:

1. Verificar que el valor que toma $X$ pertenece a $\{1,\ldots,6\}$.
2. Determinar la ley de $X$.
3. Implementar el algoritmo y verificar experimentalmente el resultado del inciso precedente.

En estos algoritmos, Int denota la parte entera, Round el entero más cercano y Mod el módulo.

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Int(Random $*\;6$)$+ 1$

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Round(Random $*\;5$)$+ 1$

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Int(Random $*\;10$)
$X \longleftarrow X$ Mod $6 + 1$

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Int(Random $*\;12$)
$X \longleftarrow X$ Mod $6 + 1$

$\bullet$

$U \longleftarrow$ Random
$X \longleftarrow$ Int($U*U*6$)$+ 1$

$\bullet$

$U \longleftarrow$ Random $+$ Random
$X \longleftarrow$ Int($U*3$)$+ 1$

$\bullet$

Repetir
$X \longleftarrow$ Int(Random $*\;10$) $+ 1$
Hasta que ($X\leq 6$)

Ejercicio 2   Para cada uno de los algoritmos que siguen:

1. Determinar la ley de la variable aleatoria $X$ al salir del algoritmo.
2. Calcular la esperanza y la varianza de $X$.
3. Seleccionar valores para el o los parámetros, implementar el algoritmo y verificar experimentalmente los resultados de los incisos precedentes.

$\bullet$

$N \longleftarrow$    Int(Random $*\;4$)
$X \longleftarrow$    Int(Random $*\;N$)

$\bullet$

$N \longleftarrow$    Int(Random $*\;3$)
$X \longleftarrow 0$
Para $I$ de 0 a $N$ ejecutar
$X \longleftarrow X+I$
finPara

$\bullet$

$X \longleftarrow 0\;;\; Y \longleftarrow 1$
Repetir
$X \longleftarrow X+1\;;\; Y \longleftarrow Y/2$
Hasta que (Random $> Y$)

$\bullet$

$N \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
Si (Random $<p$) entonces $N \longleftarrow N+1$
finSi
finRepetir
$X \longleftarrow 0$
Repetir $N$ veces
Si (Random $< q$) entonces $X \longleftarrow X+1$
finSi
finRepetir

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
Si (Random $<p$) entonces
Si(Random $< q$) entonces $X \longleftarrow X+1$
finSi
finSi
finRepetir

$\bullet$

$P \longleftarrow p\;;\; F \longleftarrow P\;;\; X\longleftarrow 1$
$C \longleftarrow$Random
MientrasQue ($C>F$)
$P\longleftarrow P*(1-p)$
$F\longleftarrow F+ P$
$X \longleftarrow X+1$
finMientrasQue

$\bullet$

$N \longleftarrow 0$
$X \longleftarrow 0$
Repetir
Si(Random $<p$) entonces $N \longleftarrow N+1$
finSi
$X \longleftarrow X+1$
Hasta que ($N=r$)

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $r$ veces
Repetir
$X \longleftarrow X+1$
Hasta que (Random $<p$)
finRepetir

Ejercicio 3   Se considera el algoritmo siguiente, donde Int denota la parte entera. $X \longleftarrow 0$
Repetir $3$ veces
$N \longleftarrow 0$
Repetir
$A\longleftarrow$   Int$($Random$*3)$
$N \longleftarrow N+1$
Hasta que ($A < 2$)
Si ($A=0$) entonces $X \longleftarrow X+1$
finSi
finRepetir.

1. ¿Cuál es la ley de la variable aleatoria $X$?
2. Calcular la probabilidad del evento $X\leq 2$.
3. ¿Cuál es la ley de la variable aleatoria $N$?
4. ¿Cuál es su esperanza?
5. Calcular la probabilidad del evento $N\leq 2$.
6. En $10000$ repeticiones independientes de este algoritmo, se han observado los siguientes resultados para $X$ :
   $$\begin{array}{l\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \mbox{Va... ...\\ \hline \mbox{Efectivos}&1264&3842&3681&1213 \end{array}$$
   1. Dar un intervalo de confianza para la probabilidad del evento $X\leq 2$, con nivel de confianza $0.95$, también para $0.99$.
   2. ¿Cuantas repeticiones independientes del algoritmo habría que realizar para que la longitud del intervalo de confianza de nivel $0.95$ sea inferior a $0.001$?
   3. Dar un intervalo de confianza para la esperanza de $X$, con nivel de confianza $0.95$, también para $0.99$.
   4. ¿Cuantas repeticiones independientes del algoritmo habría que realizar para que la longitud del intervalo de confianza de nivel $0.95$ sea inferior a $0.001$?
7. En $10000$ repeticiones independientes de este algoritmo, se han observado los siguientes resultados para $N$ :
   $$\begin{array}{l\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v... ...ne \mbox{Efectivos}&6613&2247&799&215&82&33&9&2 \end{array}$$
   1. Dar un intervalo de confianza para la probabilidad del evento $N\leq 2$, con nivel de confianza $0.95$, también para $0.99$.
   2. ¿Cuantas repeticiones independientes del algoritmo habría que realizar para que la longitud del intervalo de confianza de nivel $0.95$ sea inferior a $0.001$?
   3. Dar un intervalo de confianza para la esperanza de $N$, con nivel de confianza $0.95$, también para $0.99$.
   4. ¿Cuantas repeticiones independientes del algoritmo habría que realizar para que la longitud del intervalo de confianza de nivel $0.95$ sea inferior a $0.001$?

Ejercicio 4   Para cada uno de los algoritmos que siguen:

1. Calcular la longitud de los intervalos de confianza de nivel $0.95$ y $0.99$ para el valor final de $X$, para $n=10^4$.
2. Calcular los valores de $n$ para los cuales estas longitudes son inferiores a $10^{-3}$ y $10^{-5}$.
3. Implementar los algoritmos y verificar experimentalmente los resultados de los incisos precedentes.

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
$X\longleftarrow X+$Random
finRepetir
$X\longleftarrow X/n$

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
$X\longleftarrow X+ 10*$Random
finRepetir
$X\longleftarrow X/n$

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
Si (Random $<0.5$) $X \longleftarrow X+1$ finSi
finRepetir
$X\longleftarrow X/n$

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
Si (Random $<0.05$) $X \longleftarrow X+1$ finSi
finRepetir
$X\longleftarrow X/n$

$\bullet$

$X \longleftarrow 0$
Repetir $n$ veces
Repetir
$X \longleftarrow X+1$
Hasta que (Random $<0.5$)
finRepetir
$X\longleftarrow X/n$

Ejercicio 5   Sea $f$ una aplicación de $\mathbb {N}^*$ en el intervalo $]0,1[$. Se considera la variable aleatoria $X$ que es la salida del algoritmo ${\cal A}_f$ siguiente. $X \longleftarrow 0$
Repetir
$X \longleftarrow X+1$
Hasta que ( Random $< f(X)$ ) Convendremos que $X$ toma el valor $\infty$ si el algoritmo no para.

1. Cuando $f$ es constante, ¿cuál es la ley de la variable $X$? ¿Cuál es su esperanza?
2. Para todo $n\in \mathbb {N}^*$, calcular $\mathbb {P}[X>n]$ y $\mathbb {P}[X=n]$.
3. Demostrar que el algoritmo ${\cal A}_f$ para si y sólo si :
   $$\sum_{k=1}^\infty f(k) = \infty\;.$$

4. Para todo entero $k\geq 1$, ponemos:
   $$f(k) = 1-2^{-(1/2)^k}\;.$$
   Mostrar que $\mathbb {P}[X=\infty] = 1/2$.
5. Para todo entero $k\geq 1$, ponemos:
   $$f(k) = 1-\frac{1}{ k+1}\;.$$
   1. Determinar la ley de la variable aleatoria $X$.
   2. Calcular $\mathbb {E}[X]$ y $Var[X]$.
   3. verificar estos resultados por simulación.
6. Para todo entero $k\geq 1$, ponemos:
   $$f(k) = \frac{1}{k+1}\;.$$
   1. Determinar la ley de la variable aleatoria $X$.
   2. Mostrar que $X$ no tiene esperanza. ¿Qué conclusión saca usted para el tiempo de ejecución del algoritmo?
7. Para todo entero $k\geq 1$, ponemos:
   $$f(k) = \frac{2k+1}{k^2+2k+1}\;.$$
   1. Mostrar que el algoritmo ${\cal A}_f$ para.
   2. ¿Cuál es la ley de la variable $X$?
   3. Calcular $\mathbb {E}[X]$ y mostrar que $Var[X]$ no existe.

Ejercicio 6   El objeto de estudio de este ejercicio es la paradoja de Bertrand (sección 2.1), que como vimos es el estudio de modelos diferentes para la selección aleatoria de una cuerda en el disco unitario. Describimos a continuación diferentes modelos, aunque puede haber otros modelos posibles.

$\bullet$

Los dos extremos de la cuerda son independientes, de ley uniforme sobre la circunferencia.

$\bullet$

Sea $M$ un punto de ley uniforme en el disco. La cuerda es la intersección con el disco de la perpendicular en $M$ al radio $OM$, donde $O$ es el centro de la circunferencia.

$\bullet$

Sea $\Theta$ un ángulo de ley uniforme en $[0,2\pi]$ y $M$ un punto de ley uniforme sobre el radio de ángulo $\Theta$ con respecto a una dirección de referencia. La cuerda es la intersección con el disco de la perpendicular en $M$ a este radio.

$\bullet$

Seat $M$ un punto de ley uniforme en el disco y $\Theta$ un ángulo de ley uniforme en $[0,2\pi]$ (independiente de $M$). La cuerda es la intersección con el disco de la recta que pasa por $M$, que forma un ángulo $\Theta$ con una dirección de referencia.

$\bullet$

Sea $M$ un punto de ley uniforme en la circunferencia y $\Theta$ un ángulo de ley uniforme en $[0,2\pi]$, independiente de $M$. La cuerda es la intersección con el disco de la recta que pasa por $M$, que forma un ángulo $\Theta$ con una dirección de referencia.

$\bullet$

Sean dos puntos independientes de ley uniforme en el disco. La cuerda es la intersección con el disco de la recta que pasa por esos dos puntos.

$\bullet$

Sea $M$ un punto de ley uniforme sobre la circunferencia y $M'$ otro punto independiente del primero, con ley uniforme en el disco. La cuerda es la intersección con el disco de la recta que pasa por esos dos puntos.

Para cada modelo:

1. Implementar un algoritmo de simulación.
2. Para una muestra de tamaño $1000$, representar un histograma de los valores obtenidos para la longitud de la cuerda.
3. Para la misma muestra, dar un intervalo de confianza de nivel $0.95$ para la esperanza de la longitud.
4. Simular el modelo de forma tal de obtener un intervalo de confianza para la probabilidad de que la longitud de la cuerda sea mayor que $\sqrt{3}$, con nivel $0.99$, cuya amplitud sea estrictamente menor que $0.01$.
5. En la medida en que sea posible, justificar los resultados obtenidos con un razonamiento matemático.

Ejercicio 7   El algoritmo que presentamos a continuación permuta aleatoriamente el contenido de una tabla $T$ de tamaño $n$, cuyos elementos son todos distintos entre sí. Para $i$ de $1$ a $n\!-\!1$
$j\longleftarrow$ Int(Random$*(n-i+1)$)$+i$
Intercambiar $T[i]$ y $T[j]$
finPara

1. Sea $\sigma$ una biyección cualquiera de $\{1,\ldots,n\}$ en el conjunto de los $n$ elementos de la tabla. Mostrar que, a la salida del algoritmo, la probabilidad que para todo $i$, se cumpla $T[i]=\sigma(i)$, es $1/n!$.
2. Denotamos por $A_i$ el evento ``el elemento $T[i]$ no ha cambiado de lugar al finalizar el algoritmo''. Sea $\{i_1,\ldots,i_k\}$ un subconjunto cualquiera de $\{1,\ldots,n\}$. Calcular la probabilidad de la intersección $A_{i_1}\bigcap\ldots\bigcap A_{i_k}$. ¿Los eventos $A_i$ son independientes entre sí?
3. Demostrar la fórmula de Poincaré, que da la probabilidad de la unión de los $A_i$ :
   $$\mathbb {P}[\,A_1\bigcup\ldots\bigcup A_n\,] = \sum_{\{i_1,\ldot... ...\dots,n\}} (-1)^{k+1}\mathbb {P}[\,A_{i_1}\bigcap\ldots\bigcap A_{i_k}\,]\;.$$

4. Deducir de aquí la probabilidad $p_n$ de que a la salida del algoritmo, al menos uno de los elementos de la tabla esté en el mismo lugar que al entrar en el algoritmo. Mostrar que $p_n$ tiende a $1-\exp(-1)$ cuando $n$ tiende a infinito.
5. Implementar el algoritmo para $n=3,4,5$ y $T=[1,\ldots,n]$. Dar un intervalo de confianza de nivel $0.95$ para la probabilidad $p_n$, cuya longitud sea inferior a $0.01$.

Ejercicio 8   El objeto de estudio de este ejercicio es el truco de cartas aleatorio de la sección 2.1. A cada permutación de las $52$ cartas, se asocia el número $N$ de cartas finales posibles a partir de las $9$ cartas iniciales, y la probabilidad $R$ de que el mago adivine correctamente. Si la permutación es aleatoria, de ley uniforme en el conjunto de las $52!$ permutaciones, estas dos cantidades $N$ y $R$ son variables aleatorias. El objetivo es determinar experimentalmente la ley de estas dos variables aleatorias. Empleando el algoritmo de permutación aleatoria del ejercicio precedente escribir un programa de simulación que tenga como salida:

1. Un intervalo de confianza de nivel de confianza $0.95$, de longitud máxima $10^{-3}$, para cada una de las probabilidades $\mathbb {P}[N=i]\,,\;i=1,\ldots,9$.
2. El conjunto de los valores tomados por la variable aleatoria $R$.
3. Un intervalo de confianza para cada una de las probabilidades $\mathbb {P}[R=r]$, donde $r$ recorre el conjunto de los valores posibles
4. Un intervalo de confianza para $\mathbb {E}[R]$.

No está prohibido cambiar las reglas del juego. Se podrá retomar el estudio para las variantes siguientes.

$\bullet$

Seleccionar la carta inicial entre las $i$ primeras.

$\bullet$

Jugar con un juego de 32 cartas.

$\bullet$

Jugar con $j$ juegos de 52 cartas puestos uno a continuación del otro.

$\bullet$

Cambiar los valores de las figuras (11 para las ``J'', 12 para las ``Q'', 13 para las ``K'' por ejemplo).

Ejercicio 9   ¿Cómo seleccionar al azar una muestra de tamaño $m$ de una lista de objetos de tamaño $n>m$? Presentamos dos algoritmos. El primero recorre la lista y decide para cada objeto si lo conserva o no en la muestra, la decisión se toma con una probabilidad que depende del número de objetos que ya se han seleccionado. $c\longleftarrow 0$ (* número de objetos seleccionados *)
$i\longleftarrow 0$ (* índice del objeto que se examina *)
MientrasQue ($c<m$)
$i\longleftarrow i+1$
$p\longleftarrow (m-c)/(n-i)$
Si (Random $<p$) entonces
Conservar el objeto $i$
$c\longleftarrow c+1$
finSi
finMientrasQue El segundo algoritmo consiste en llenar las casillas de una tabla de número booleanos, de manera tal que al final $m$ casillas sean verdad. Tabla $B$ de $n$ booleanos inicializados como falso
$c\longleftarrow 0$ (* número de casillas verdad *)
Repetir
Repetir
$i\longleftarrow$ Random $(\{1,\ldots,n\})$
Hasta que ($B[i]=$falso)
$B[i]\longleftarrow$ verdad
$c\longleftarrow c+1$
Hasta que (c=m).

1. Sea $C$ un subconjunto de cardinal $m$ del conjunto de los $n$ objetos. Mostrar que a la salida de los dos algoritmos, el conjunto de los objetos seleccionados es igual a $C$ con probabilidad $1/\binom{n}{m}$.
2. Para el primer algoritmo, mostrar que la esperanza del número de pases en el lazo es $n(1-1/(m+1))$.
3. Para el segundo algoritmo, sea $N_c$ el número de llamadas a Random necesarias para obtener la $(c\!+\!1)$-ésima casilla. Mostrar que $N_c$ sigue la ley geométrica de parámetro $(1-c/n)$. Deducir que el número medio de llamadas de Random en el segundo algoritmo es:
   $$1+\frac{n}{n-1} + \frac{n}{n-2} + \cdots+ \frac{n}{n-m+1}\;.$$

4. Implementar los dos algoritmos, para $n=10000$ y diferentes valores de $m$. Determinar cuál de los dos es más rápido.

Ejercicio 10   Para cada uno de los siguientes algoritmos:

1. Determinar la función de distribución y la densidad de $X$.
2. Calcular la esperanza, la varianza y la mediana de $X$.
3. Determinar los intervalos de dispersión de nivel $0.95$ y $0.99$ unilaterales, simétricos y optimales para la ley de $X$.
4. Implementar el algoritmo y verificar experimentalmente los resultados de los incisos precedentes.

$\bullet$

$X \longleftarrow 1/(1+$Random$)$

$\bullet$

$X \longleftarrow (-\log($Random$))^{1/2}$

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Max(Random,Random)

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Min(Random,Random)

$\bullet$

$X \longleftarrow$ Min(Random,Random)
Si (Random $<0.5$) entonces $X \longleftarrow -X$ finSi

$\bullet$

$U \longleftarrow$ Random
$X \longleftarrow U^2$

$\bullet$

$X \longleftarrow (2*$Random$-1)^2$

$\bullet$

$U \longleftarrow 2*$Random$-1$
$X \longleftarrow U*U*U$

$\bullet$

Si (Random $<0.4$)
entonces $X \longleftarrow$ Random
si no $X \longleftarrow$ Random $+ 1$
finSi

$\bullet$

Repetir
$X \longleftarrow 1/1+$Random
Hasta que ($X < 3/4$)

$\bullet$

Repetir
$X \longleftarrow -\log$(Random)
Hasta que ($X < 2$)

$\bullet$

$N \longleftarrow$Int$(\log($Random $)/\log(2))$
$X\longleftarrow -\log ($Random$)/N$

$\bullet$

$U \longleftarrow$Random; $N \longleftarrow 1$; $X \longleftarrow$Random
MientrasQue ($U<(1/2)^N$)
$N \longleftarrow N+1$
$Y \longleftarrow$Random
Si ($X<Y$) entonces $X \longleftarrow Y$ finSi
finMientrasQue

Ejercicio 11   Sea ${\cal L}$ una de las leyes cuyas densidades ponemos a continuación.

$\bullet$

Densidad de la ley de Weibull de parámetros $\alpha>0$ y $\lambda>0$.

$$f(x) = \alpha\lambda x^{\alpha-1}e^{-\lambda x^\alpha} \mathbb {I}_{\mathbb {R}^+}(x)\;.$$

$\bullet$

Densidad de la ley beta ${\cal B}(\alpha, 1)$, el parámetro $\alpha$ es $>0$.

$$f(x) = \alpha x^{\alpha-1}\mathbb {I}_{[0,1]}(x)\;.$$

$\bullet$

Densidad de la ley de Pareto de parámetros $\alpha>0$ y $\lambda>0$.

$$f(x) = \alpha \lambda^\alpha x^{-\alpha-1} \mathbb {I}_{[\lambda,+\infty[}(x)\;.$$

Para la ley ${\cal L}$ :

1. Determinar la función de distribución $F$ y la función cuantil $Q$.
2. Determinar los intervalos de dispersión de nivel $0.95$ y $0.99$ unilaterales, simétricos y optimales.
3. Sea $(X_1,\ldots ,X_n)$ una $n$-tupla de variables aleatorias independientes y con una misma ley continua (cualquiera). Se denota por:
   $$\min\{X_i\}=X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\ldots\leq X_{(n)}=\max\{X_i\}\;,$$
   los estadígrafos de orden (valores de las $X_i$ ordenados en orden creciente). Para $x\in \mathbb {R}$, se denota por $F$ a la función de distribución de $X$ y por $n_x$ a la parte entera de $nF(x)$. Emplear la Ley de los Grandes Números para demostrar que para todo $\varepsilon >0$ :
   $$\lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb {P}[\,\vert X_{(n_x)}-x\vert>\varepsilon\,] = 0\;.$$

4. Si $X$ tiene por función de distribución a $F$, determinar la ley de $F(X)$. Para $u\in [0,1]$, se denota por $n_u$ a la parte entera de $n u$. Demostrar que para todo $\varepsilon >0$ :
   $$\lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb {P}[\,\vert F(X_{(n_u)})-u\vert>\varepsilon\,] = 0\;.$$

5. Para la ley ${\cal L}$ del inicio del enunciado, seleccionar valores de los parámetros, implementar el algoritmo de simulación por inversión, y simular variables independientes $X_1,\ldots,X_n$ de ley ${\cal L}$, para $n=100$ y $n=1000$. Superponer en un mismo gráfico una representación de la función de distribución $F$, y los $n$ puntos de coordenadas $(X_{(i)},i/n)$.

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