Schémas numériques pour les écoulements complexes multi-échelles

Dans les écoulements fluides intervient souvent une large gamme d’échelles en interaction, liées à des différences marquées d’échelles de temps et de longueur, à la présence de processus physiques raides (stiff), ou encore à la coexistence de différents régimes et phases d’écoulement. La représentation numérique précise et efficace de ce comportement multi-échelles constitue un défi majeur en calcul scientifique. Dans cette présentation, nous aborderons quelques techniques numériques destinées à traiter ces difficultés dans la simulation d’écoulements complexes.
Dans un premier temps, un schéma IMEX semi-implicite est introduit pour les équations de Baer-Nunziato, qui gouvernent les écoulements biphasiques compressibles. Dans ce cadre, une discrétisation linéaire implicite est appliquée aux flux de pression ainsi qu’aux termes sources de relaxation, tandis que les termes convectifs non linéaires sont traités de manière explicite. Cette approche conduit à une condition de stabilité de type CFL sur le pas de temps maximal admissible ne dépendant que de la vitesse moyenne de l’écoulement, et non de la vitesse du son de chaque phase, permettant ainsi une utilisation uniforme du schéma sur un large éventail de régimes de nombre de Mach. Des schémas volumes finis capturant les chocs sont employés pour le traitement des flux convectifs, afin d’assurer la robustesse en présence de forts effets de compressibilité. Le schéma obtenu est bien équilibré (well-balanced), et asymptotiquement préservant (asymptotic-preserving) dans la limite à faible nombre de Mach du modèle de mélange.
Afin de réduire le coût de calcul associé aux simulations haute-fidélité des écoulements multi-échelles, des stratégies de modélisation d’ordre réduit sont également considérées. Ces approches visent à construire des représentations de faible dimension de l’espace des solutions, tout en restant cohérentes avec la discrétisation d’ordre complet sous-jacente. Dans ce contexte, des développements récents combinant une intégration temporelle de type IMEX avec des modèles d’ordre réduit colocalisés (cROMs) sont présentés, avec une attention particulière portée à la préservation du découplage temporel au niveau réduit.
Les méthodologies présentées sont motivées par, et applicables à, un large éventail de problèmes d’écoulements complexes, notamment les écoulements compressibles multiphasiques, avec des applications en géophysique et en énergétique, telles que les écoulements eau-air et la dynamique des écoulements volcaniques.