Caractérisation spectrale de l’observabilité faible pour les systèmes d’évolution en dimension infinie

Mots clé :

• Équations d'évolution
• Théorie spectrale
• Inégalité de résolvante
• Problèmes inverses
• Perturbation relativement compacte.

Cette thèse étudie l’observabilité exacte et faible pour des systèmes d’évolution de dimension infinie engendrés par des opérateurs anti-adjoints, avec un intérêt particulier pour les perturbations relativement compactes. Dans un premier temps, nous établissons des conditions suffisantes garantissant la préservation de l’observabilité exacte d’un système sous de telles perturbations. Cette analyse repose sur une étude spectrale fine du générateur perturbé et sur le théorème de Rouché généralisé, qui assure la stabilité des valeurs propres et de leurs multiplicités. Nous développons ensuite une caractérisation spectrale de l’observabilité faible en introduisant la notion de coercivité spectrale de l’opérateur d’observation, équivalente à une inégalité de résolvante. Ce cadre permet d’obtenir des estimations d’observabilité de type Hautus reliant les propriétés de la résolvante d’un opérateur elliptique à l’observabilité du système. Enfin, nous montrons que l’observabilité faible est équivalente à une condition spectrale garantissant que l’énergie des modes propres observés ne décroît pas trop rapidement par rapport à leurs fréquences. Ces résultats sont appliqués à l’équation des ondes, notamment sur le rectangle et le disque, illustrant la portée de cette approche.

Directeurs:

• Faouzi Triki (Université Grenoble Alpes )

Rapporteur·e·s:

• Ali Wehbe (Université Libanaise )
• Pierre Maréchal (Université de Toulouse )

Examinateur·trice·s:

• Anna Doubova (Université de Séville )
• Eric Bonnetier (Université Grenoble Alpes )