Optimisation de formes distributionnellement robuste à des changements de distributions

Mots clé :

• incertitude
• distance de Wasserstein
• expériences numériques
• densité
• ligne de niveaux
• maillages.

Cette thèse introduit le paradigme de l’optimisation distributionnellement robuste, issu du domaine de l’optimisation convexe, en optimisation de formes, discipline visant à déterminer le meilleur design selon un critère de performance physique tout en respectant des contraintes. En intégrant de la robustesse distributionnelle, ce travail aborde le problème de l’incertitude des paramètres, afin de garantir la viabilité des designs face à de petites variations de ces derniers.
Nous discutons de la sensibilité des designs optimaux vis-à-vis de ces paramètres et présentons les principaux moyens existants permettant l’introduction de robustesse dans des problèmes d’optimisation de formes, motivant ainsi le choix de l’approche distributionnellement robuste. Nous considérons des situations réalistes où la fonction de coût à minimiser ainsi que le modèle physique sous-jacent dépendent de paramètres incertains, dont la loi de probabilité est elle-même inconnue. Dans ces cas, la seule information disponible se limite à une loi nominale, reconstruite à partir des peu nombreuses données observables.
Ce problème distributionnellement robuste se présente à première vue comme un problème d’optimisation à deux niveaux, consistant à minimiser la pire valeur d’une quantité statistique de la fonction objectif (typiquement sa valeur moyenne), lorsque la loi de probabilité des paramètres incertains appartient à un ensemble d’ambiguïté “proche” de la loi nominale.
Parmi la large palette d’ensembles existants, cette thèse se concentre sur trois classes de problèmes distributionnellement robustes. Premièrement, l’ensemble d’ambiguïté considéré est constitué des lois de probabilité dont la distance de Wasserstein par rapport à la loi nominale est inférieure à un seuil fixé. Deuxièmement, l’ensemble d’ambiguïté est défini à partir des moments d’ordre 1 et 2 de la loi nominale. Finalement, une autre quantité statistique, la conditional value at risk, différente de la valeur moyenne, est rendue robuste vis-à-vis de l’incertitude sur la loi de probabilité des paramètres.
À l’aide d’arguments de dualité convexe, nous obtenons des formulations exploitables en pratique de ces différents problèmes distributionnellement robustes vis-à-vis de ces différents ensembles d’ambiguïtés, indépendantes du choix de représentation et présentées dans un cadre abstrait. Afin d’être utilisables en pratique, ces formulations reposent sur un ensemble de variables augmenté.
Nous résolvons ensuite numériquement ces problèmes distributionnellement robustes afin d’étudier différentes situations, utilisant une formulation par densité ou une formulation géométrique. Des expériences numériques illustrant le potentiel de ces approches sont présentées, tant pour des incertitudes de dimension finie (sur les chargements par exemple) en deux ou trois dimensions, que pour des cas où cette hypothèse est relaxée afin de capturer des sources d’incertitudes différentes, comme les propriétés du matériau ou la géométrie du design.

Président·e:

Emmanuel Maitre (Université Grenoble Alpes)

Directeurs:

• Boris Thibert (Université Grenoble Alpes )
• Charles Dapogny (Sorbonne Université )

Rapporteur·e·s:

• Fabien Caubet (Université de Pau )
• Beniamin Bogosel (Aurel Vlaicu University of Arad )

Examinateur·trice·s:

• Franck Iutzeler (Institut mathématiques de Toulouse )
• Virginie Ehrlacher (Ecole Nationale des Ponts et Chaussées )
• Emmanuel Maitre (Université Grenoble Alpes )