Cyclicité du groupe de points rationnels de variétés abéliennes sur des corps finis et polynômes à coefficients entiers

Vladuts a caractérisé l'ensemble des corps finis k tels que toutes les courbes elliptiques définies sur k possèdent un groupe de points rationnels cyclique.
Dans cet exposé, j'étudie la même question en dimension supérieure. Plus précisément, je démontre qu'il n'existe pas de corps fini k tel que toutes les variétés abéliennes simples définies sur k de dimension g>1 possèdent un groupe de points rationnels cyclique. Ce problème est lié à l'étude des propriétés arithmétiques de certains types d'entiers algébriques totalement réels.
Cette étude entraîne d'autres problèmes qui pourraient être adressés avec des algorithmes pour chercher certains types de polynômes à coefficients entiers.
Je présenterai également un résultat sur la cyclicité de variétés maximales et, là encore, comment cela conduit à d'autres problèmes sur certains types d'entiers algébriques totalement positifs, dans ce cas.
Ces derniers font partie de recherches actuelles, d'un point de vue algorithmique.