Représentation matricielles des courbes et surfaces algébriques paramétrées

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Séminaire Modèles et Algorithmes Déterministes: CASYS

8/12/2011 - 09:45 Mr Laurent Busé (INRIA Sophia-Antipolis) Salle 1 - Tour IRMA

La manipulation des courbes et surfaces algébriques paramétrées, notamment la détermination de lieux d'intersections et de lieux singuliers, est d'une importance toute particulière en modélisation géométrique. Dans cet exposé, on introduira une nouvelle représentation de ces courbes et surfaces paramétrées, représentation qui consiste pour l'essentiel à caractériser un objet algébrique par la chute de rang d'une matrice plutôt que par l'annulation simultanée d'une famille de polynômes. On montrera comment ces représentations, que l'on qualifiera de matricielles, établissent un pont entre la géométrie et l’algèbre linéaire, pont qui permet de livrer des problèmes géométriques à des algorithmes classiques d’algèbre linéaire et d'ouvrir ainsi la possibilité d'un traitement numérique plus efficace et plus robuste. Nous illustrerons la contribution de cette approche à des problèmes fondamentaux de la modélisation géométrique tels que la localisation (appartenance d’un point à un objet), le calcul d’intersection de deux objets, ou bien encore la détection d’un lieu singulier (par exemple pour les courbes ou surfaces dites “offsets”). Enfin, on évoquera également l'application de cette approche au lancé de rayons sur une surface algébrique paramétrée (typiquement une surface de Bézier rationnelle).