Seminar: Calculus of Variations, Geometry and Image
As suggested by the name, the CVGI seminar gathers oral presentations around the issues of Calculus of Variations,
Geometry and Image, as well from theoretical and numerical perspectives.
It usually occurs on Thursdays.
Upcoming talks
Erwan Deriaz (Institut Jean Lamour, Matériaux-Métallurgie-Nanosciences-Plasmas-Surfaces, Université de Lorraine).
April, 6th, 2017
Title: TBD
Abstract:
TBD
Albert Cohen (Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 6).
March, 16th, 2017
Title: Réduction de modèle et estimation de paramètre
Abstract:
Nous présentons quelques résultats récents sur des problèmes
d'estimation de paramètres dans les EDP à partir de d'observations.
Le prermier concerne l'identifiabilité d'une fonction de diffusion a,
à partir de la solution u de l'EDP elliptique associée pour un second membre f donné. Nos résultats montrent que lorsque f est strictement positive, et si a appartient à certaines classes de régularité, l'identification est possible avec une dépendance Hölderienne de a en fonction de u.
Le second problème concerne la reconstruction de u à partir d'une nombre fini d'observations modélisées par des mesures linéaires. L'information a-priori sur u est décrite par les propriétés d'approximation par des modèles réduisant la dimension (bases réduites, POD..). Sous de telles hypothèses, nous proposons des algorithmes permettant une reconstruction optimale
Title: Existence de minimiseurs pour le problème classique de fracture de Griffith
Abstract:
Une solution classique au problème de Griffith est une paire (K,u) qui minimise l'énergie de rupture fragile de Griffith sous des conditions au bord appropriées. Ici K est un ensemble fermé qui représente la rupture dans un matériau élastique et u est une fonction différentiable hors de K qui représente le déplacement élastique. Une percée dans la recherche d'une théorie d'existence dans le cas des déplacements scalaires est venue avec la preuve de De Giorgi, Carriero et Leaci '89. Celle-ci est basée sur un résultat de compacité pour les suites dans SBV qui ont l'énergie élastique bornée et l'énergie de saut qui disparaît. Pour prouver la compacité ils établissent une inégalité de type Poincaré sur des fonctions modifiées, obtenues par troncature et co-aire ; toutefois, en raison de l'utilisation des troncatures et de la co-aire, ce résultat ne se prête pas à l'extension au cas vectoriel de l'élasticité linéaire. Nous surmontons cet obstacle en dimension 2, en remplaçant la troncature par de bonnes approximations Sobolev, pour lesquelles nous avons déjà établi des inégalités de Poincaré et de Korn.
Past talks
Thibault Bourgeron (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, ENS Lyon).
February, 2nd, 2017
Title: Adaptation de population sexuée à un changement d'environnement
Abstract:
On présentera des équations aux dérivées partielles modélisant
l'adaptation d'une population sexuée à un (changement d')environnement.
On propose d'étudier les états stationnaires de ces équations afin de
quantifier la mal-adaptation de la population. La reproduction sexuée
est modélisée par l'opérateur infinitésimal de Fisher, qui est non
local, non linéaire, non monotone. Pour ces raisons l'existence
d'éléments propres principaux ne peut pas être obtenue par la théorie de
Krein-Rutman et une autre méthode doit être employée. Dans une seconde
partie on expliquera comment, dans un certain rapport des échelles
phénotypiques, la méthodologie de l'approximation WKB peut être adaptée
à ces équations pour calculer des indicateurs classiques de
maladaptation. L'introduction d'une structure en âge fait apparaître des
effets non linéaires (mur de mortalité).
Eddie Aamari (INRIA Saclay et Laboratoire de Mathématiques d'Orsay).
January, 19th, 2017
Title: About Reach Estimation: Geometric Stability and Minimax Bounds
Abstract:
Various problems within computational geometry and manifold learning encode geometric regularity through the so-called reach, a generalized convexity parameter. The reach \tau_M of a submanifold M \subset \mathbb{R}^D is the maximal offset radius on which the projection onto M is well defined. The quantity \tau_M renders a certain minimal scale of M, giving bounds on both maximum curvature and possible bottleneck structures. In this talk, we will study the geometry of the reach through an approximation theory perspective. We present new geometric results on the reach of submanifolds without boundary. An estimator \hat{\tau}_n of \tau_M will be described, in an idealized i.i.d. framework where tangent spaces are known. The estimator \hat{\tau}_n is showed to achieve uniform expected loss bounds over a \mathcal{C}^3-like model. Minimax upper and lower bounds are derived. We will conclude with an extension to a model in which tangent spaces are unknown.
Michael Goldman (CNRS, Laboratoire Jacques-Louis Lions).
December, 15th, 2016
Title: Un modèle de type Ginzburg-Landau couplant vortex ponctuels et lignes de discontinuités
Abstract:
Je présenterai un résultat obtenu en collaboration avec B. Merlet et V. Millot sur le comportement asymptotique des minimiseurs d'une fonctionnelle mélant certains aspects des fonctionnelles de Ginzburg-Landau et de Mumford-Shah. Je montrerais comment dans le régime de faible énergie, des défauts de type vortex fractionnaires reliés par des lignes de discontinuités apparaissent. Nous verrons que ces dernières sont les solutions d'un problème de type Steiner.
Roland Hildebrand (CNRS, Laboratoire Jean Kuntzmann).
December, 1st, 2016
Title: The reach property for self-concordant barriers
Abstract:
Let K be a regular convex cone in R^n. A smooth locally strongly convex logarithmically homogeneous function on the interior of the cone is called a self-concordant barrier if it tends to +infty on the boundary of the cone and satisfies a certain inequality between the second and third derivatives. Self-concordant barriers can be equivalently described by hyperbolic centro-affine immersions which are asymptotic to the boundary of the cone and have a bounded cubic form. Hyperbolic centro-affine hypersurface immersions in R^n can in turn be seen as positive definite Lagrangian submanifolds of a certain para-Kähler space form. The cubic form of the immersion becomes the second fundamental form of the submanifold. We show that Lagrangian submanifolds which arise in this way have the global reach property, with parameter given by a function of the bound of the cubic form.
Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu et sont employées pour des applications médicales (échographie) ou géophysiques (séismologie) par exemple.
Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs.
Ces techniques sont généralement mises en défaut lorsqu’on les utilise dans des milieux diffusants, car les signaux cohérents venant des réflecteurs à imager et enregistrés par les réseaux de récepteurs sont souvent noyés par les signaux incohérents venant des diffuseurs.
L’analyse stochastique et multi-échelles permet de comprendre la situation et de proposer des fonctions d’imagerie originales.
On verra que des fonctions d’imagerie à base de corrélations croisées permettent d’exploiter des signaux traversant des milieux très complexes, et aussi d’utiliser des signaux issus de sources de bruit ambiant.
On fera le point sur quelques résultats récents issus de ces techniques.
Frédéric de Gournay (Institut de Mathématiques de Toulouse).
June, 4th, Salle I (Tour IRMA)
Title: TBD
Abstract:
TBD
Marc Dambrine (Université de Pau et des Pays de l'Adour).
May, 7th, Salle I (Tour IRMA)
Title: TBD
Abstract:
TBD
Susanna Terracini (Università di Torino).
March, 26th, Salle I (Tour IRMA)
Title: Existence and regularity of solutions to optimal partition problems involving Laplacian eigenvalues
Abstract:
Let \Omega\subset \mathbb{R}^N be an open bounded domain and m\in \mathbb{N}.
Given k_1,\ldots,k_m\in \mathbb{N}, we consider a wide class of optimal partition problems involving Dirichlet eigenvalues of elliptic operators, including the following
where \lambda_{k_i}(\omega_i) denotes the k_i-th eigenvalue of (-\Delta,H^1_0(\omega_i)) counting multiplicities, and \mathcal{P}_m(\Omega) is the set of all open partitions of \Omega, namely
We prove the existence of an open optimal partition (\omega_1,\ldots, \omega_m), proving as well its regularity in the sense that the free boundary \cup_{i=1}^m \partial \omega_i\cap \Omega is, up to a residual set, locally a C^{1,\alpha} hypersurface.
In order to prove this result, we first treat some general optimal partition problems involving all eigenvalues up to a certain order. This class of problems includes the one with cost function
whose solutions approach the solutions of the original problem as p\to +\infty. The study of this new class of problems is done via a singular perturbation approach with a class of Schrödinger-type systems which models competition between different groups of possibly sign-changing components. An optimal partition appears in relation with the nodal set of the limiting components, as the competition parameter becomes large. This is a joint work with Miguel Ramos and Hugo Tavares
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