Démonstrations non constructives

L'assertion $\exists x\in\emptyset$ est fausse (par définition l'ensemble vide ne contient aucun élément). Toute implication qui commence par $\exists x\in\emptyset$ est forcément vraie, par définition de l'implication. Il est donc indispensable, avant de se lancer dans la démonstration d'une implication, de vérifier que les hypothèses ne sont pas vides, c'est-à-dire qu'elles sont satisfaites par au moins un objet. Sans cela, on pourrait en déduire tout et n'importe quoi. Par exemple l'assertion suivante est mathématiquement correcte, même si nous ne vous conseillons pas de l'apprendre par cur :

Soit $n$ un entier tel que $\forall m\in\mathbb{N}$, $n\geqslant m$. Alors $1=0$.

L'hypothèse est vide : aucun entier n'est supérieur à tous les autres. Une grande partie de l'activité mathématique consiste à démontrer que des hypothèses ne sont pas vides, c'est-à-dire qu'il existe au moins un objet qui les vérifie. On appelle cela un «théorème d'existence». Il est très possible de démontrer l'existence d'un objet sans être capable de l'exhiber, ni même de donner un algorithme permettant de le calculer. Voici un exemple célèbre.

Proposition 14   Il existe deux nombres irrationnels $x$ et $y$ tels que $x^y$ soit rationnel.

Démonstration : Nous avons vu que le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel. Essayons $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ : il est soit rationnel, soit irrationnel.

$\bullet$

Si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est rationnel, la proposition est démontrée, puisque $x=y=\sqrt{2}$ convient.

$\bullet$

Si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est irrationnel, posons $x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, et $y=\sqrt{2}$. Alors

$$x^y = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2\in\mathbb{Q}\;,$$

et la proposition est également démontrée.

$\square$

Rien dans cette démonstration ne permet de savoir si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est ou non rationnel, et donc l'existence de $x$ et $y$ est démontrée sans qu'on puisse exhiber un seul exemple. On dit que la démonstration est «non constructive».

Certains mathématiciens, à la suite de Luitzen Brouwer (1881-1966), affirment qu'il n'est pas acceptable de démontrer un théorème d'existence sans être capable de construire au moins un objet vérifiant la propriété. Ils considèrent que cela revient à peu près à affirmer que les licornes existent parce qu'on trouve la définition du mot «licorne»  dans les dictionnaires. À vous de juger...