En este parrafo consideramos el
problema de un test para la independencia de dos carácteres
binarios, indicadores de dos eventos distintos. Es una situación
que se encuentra en la medicina cada vez que se plantea el
problema de una detección terapéutica. Llamemos (por
enfermedad) al primer evento y
(por síntoma) al segundo. El
síntoma puede ser una tasa elevada de una cierta sustancia o la
reacción positiva a un test de detección, como un test de
alcoholemia. En cada individuo de una población de tamaño
, se
observan la presencia o la ausencia de la enfermedad y del
síntoma. Tenemos entonces los
resultados posibles siguientes :
El problema es extraer de estos datos una base para un diagnóstico : ¿con qué certeza podemos anunciar a una persona que está enferma, si se ha encontrado el síntoma en ella? La hipótesis nula es:
El test
de chi-cuadrado, visto en el parrafo anterior, es uno
de los medios de comprobar
. Tiene el inconveniente de
no distinguir una tendencia positiva (la presencia del síntoma
inclina a favor de la presencia de la enfermedad) de una
dependencia negativa. También se utiliza el
cociente de
apuestas, o relación de
proporciones (odds-ratio en inglés). La proporción o apuesta
(en el sentido de los jugadores) de un evento es el cociente entre
la probabilidad del evento y la de su complementario. Esta
``apuesta'' se puede calcular para la enfermedad en los individuos
que tienen el síntoma (
) y en
los que no lo tienen
(
). La
proporción teórica de las apuestas es el cociente de
estas dos cantidades:
La proporción entre apuestas vale si la enfermedad y el
síntoma son independientes, es mayor que
si la presencia del
síntoma indica la presencia de la enfermedad. Cuando se han
realizado observaciones en una muestra, podemos aproximar las
probabilidades teóricas por las frecuencias experimentales. Esto
nos lleva a la definición de la proporción empírica de
las apuestas.
Cuando el denominador es cero, por convenio se reemplaza la
definición de
por:
Ejemplo: Retomemos los datos del
parrafo anterior.
La apuesta (empírica) de las neurosis en los individuos que tienen tendencias suicidas es:
Para los que no tienen tendencias, la apuesta es:
La proporción de apuestas empírica vale:
Hay una tendencia positiva entre las tendencias suicidas y las
neurosis. La cuestión es saber si esta dependencia es
significativa. Es difícil dar explícitamente la ley de
probabilidad de la proporción de apuestas bajo la hipótesis
, por una via que no sea la simulación. Para
muestras grandes se emplea el siguiente resultado asintótico.
Bajo la hipótesis de independencia
, la ley de la
variable aleatoria:
Podemos por tanto concluir que hay una dependencia positiva entre
tendencias suicidas y neurosis.