Nos situamos en el caso más frecuente, donde las variables son
modeladas por una muestra de una cierta ley desconocida. Hasta
ahora, hemos considerado hipótesis que tienen que ver con una
sola ley , lo que permitía determinar la ley de un
estadígrafo de test en función de la muestra, y por tanto
calcular las probabilidades de error (umbral o riesgo). Cuando una
hipótesis tiene que ver con una sola ley se dice que es
simple. En el caso contrario, decimos que es compuesta.
Frecuentemente, el modelo presupone que la ley desconocida
pertenece a una cierta familia de leyes prefijada, que dependen de
uno o más parámetros (leyes binomiales, leyes normales...).
Denotaremos por al parámetro y por
a la ley
desconocida. Un test sobre los valores de
se llama
paramétrico. Una hipótesis simple será del tipo
, donde
es un valor prefijado. Las
hipótesis compuestas serán del tipo
,
o
.
Para
hacer un test sobre el valor del parámetro, lo más lógico
consiste en emplear como estadígrafo de test a un
estimador
convergente de este parámetro. Un
estimador convergente es un estadígrafo (función de la
muestra), que toma valores que estarán más cercanos a
mientras más grande sea el tamaño de la muestra. Si
es un
estimador convergente de
, entonces bajo la hipótesis
,
debe tomar valores cercanos
a
. Se rechazará
cuando
toma valores
muy alejados de
.
Veamos el caso de dos hipótesis simples :
Si
, el test será
unilateral a la derecha
(rechazo de los valores de
muy grandes). Pero la definición
del test no tiene en cuenta a
: será la misma
para cualquier valor
, y también para:
igual en el caso:
Se empleará un test bilateral para probar :
Una manera frecuentemente empleada para
definir un test paramétrico a partir de una estimación de
es de utilizar un
intervalo de confianza.
Por tanto un intervalo de confianza contiene al valor del
parámetro con una fuerte probabilidad. Si la hipótesis
es verdadera, el intervalo de confianza
debe contener a
.
Consideremos el caso de una muestra de la
ley exponencial
. Queremos un test
bilateral de la hipótesis
. El
estimador natural de
es el inverso de la
media
empírica
. Para una muestra de la ley
, la media empírica
sigue la
ley
gamma
, por tanto la variable aleatoria
sigue la
ley gamma
.
Se deduce que el siguiente intervalo es un
intervalo de confianza
de nivel
para
:
La regla de decisión para el test de umbral que se
deduce de este intervalo de confianza será:
Rechazo de ![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
En este caso, el test basado en el intervalo de confianza es
equivalente al test basado en el
intervalo de dispersión
simétrico de la ley de bajo
(pero no siempre
es así).