Las hipótesis de modelación son aquí más fuertes que en el
capítulo precedente. Los datos observados se consideran como
realizaciones de una muestra de la ley normal
cuya esperanza
y varianza
son
desconocidas. Bajo estas hipótesis, los resultados teóricos
nos dicen que los estimadores naturales de
y
son
la
media y la
varianza empíricas.
El inciso 1 permite hacer tests de hipótesis que tienen
que ver con el valor de , cuando
es conocido. Es la
situación típica de control de calidad. Consideremos una
máquina destinada a fabricar comprimidos que deben pesar
gramo. Ningún comprimido, si se pesa con una sensibilidad del
orden de microgramo, pesa exactamente
gramo. En promedio el
peso de los comprimidos es
gramo, con una desviación estándar
asociada a las características de la máquina que los fabrica,
la cual es conocida (por ejemplo
g). El control de
calidad consistirá en tomar, cada cierto tiempo, una muestra de
los comprimidos los cuales se pesarán exactamente. Se
calculará su peso promedio para comprobar si existe una
diferencia muy grande con el valor de referencia (
g). Por
ejemplo, si en una muestra de
comprimidos se observa un peso
promedio de
, el estadígrafo del test toma el valor de
, y su
p-valor con respecto a la
ley normal
es:
Si no se conoce la varianza, se puede emplear el inciso 2 de
la misma forma. Retomemos los mismos datos, suponiendo que se ha
observado una desviación estándar de . El estadígrafo
de test toma el valor
, y su
p-valor
con respecto a la
ley de
Student
es:
Se puede emplear el inciso 3 para hacer un test sobre el
valor de la
desviación estándar. Continuando con la muestra de
comprimidos supongamos que se observó una
desviación
estándar de
. Se quiere hacer un test para saber si este
valor es significativamente más grande que el valor de referencia
. El estadígrafo de test toma el valor
. Para la
ley de
chi-cuadrado
, el
p-valor
correspondiente es:
Frecuentemente se plantea la hipótesis de normalidad, pero no siempre se puede hacer un test válido de la misma. En el caso de las muestras de gran tamaño, podemos obviar esto gracias al siguiente resultado, que una adaptación del Teorema del Límite Centrado.
Este resultado se utiliza para realizar tests sobre los valores de
la esperanza, exactamente igual que como se hizo con los incisos
1 y 2 del teorema 3.1.