• Notes de cours (partie analyse)
  
  
• Corrige du TD 1
  
  
• Corrige du TD 2
  
  
• Corrige du TD 3
  

Deux parties :

1. Fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples

2. Calcul matriciel et résultats pratiques sur la diagonalisation.

A quoi ces outils doivent-ils leur servir ?

Sur la partie « fonctions de plusieurs variables » : opérateurs aux dérivées partielles et calculs liés aux principales lois de la physique et de la mécanique, optimum d’une fonction de plusieurs variables,…

Sur la partie « calcul matriciel » : calcul de valeurs propres et de modes propres (structures, acoustique, diagonalisation de systèmes différentiels…), représentation et manipulation de tableaux (informatique),…

PROGRAMME DETAILLE

PARTIE 1 : Fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel et intégral

Fonctions de plusieurs variables réelles

• Définition générale, continuité (on se restreint à Rⁿ  R, et on travaillera en pratique avec n=2, voire 3. Le cas général Rⁿ  R^p sera indiqué dans le poly)

• Fonctions de deux variables réelles

  • Représentation graphique : 3D, lignes de niveaux

  • Exemples : polynômes à plusieurs variables, quadriques…

  • Coordonnées polaires

• Fonctions de trois variables réelles

  • Coordonnées cylindriques et sphériques

Dérivées partielles

• Dérivée directionnelle

• Dérivées partielles

• Différentielle

• Différentielle de fonctions composés (changement de variables)

• dérivées secondes, dérivées d’ordre quelconque, théorème de Schwarz (admis)

• Formule de Taylor à l’ordre 2 pour les fonctions de deux variables (généralisation à un ordre quelconque pour les fonctions de plusieurs variables dans le poly)

Optimisation d’une fonction de plusieurs variables

• Condition nécessaire d’extrémum d’une fonction de plusieurs variables : grad f = 0

• Discussions sur les extrema

• Exemples d’applications : approximation par moindres carrés, minimisation d’un coût…

Intégrales multiples

• Description d’un domaine de Rⁿ

• Intégrales doubles et triples, calculs d’aires et de volumes

• Changement de variables dans une intégrale multiple 

Opérateurs aux dérivées partielles

• Gradient, rotationnel, divergence, laplacien

• Interprétation physique de ces opérateurs

• Composition de ces opérateurs

• Exemples d’équations aux dérivées partielles

• Expression des opérateurs en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques 

• Formules d’intégration par parties : théorème de divergence de Gauss, théorème de Stokes, formules de Green

PARTIE 2 : Calcul matriciel, déterminants, diagonalisation

Matrice et calcul matriciel élémentaire (normalement, ce sont des révisions)

• Du tableau rectangulaire à l’espace vectoriel M(m,n)

• Représentation matricielle d’une application linéaire

• Représentation matricielle d’un système linéaire

• Représentation matricielle d’un système différentiel

• Vecteurs lignes et vecteurs colonnes

• Matrices particulières : diagonales, triangulaires, bandes…

• Transposée

• Addition, multiplication par un scalaire, produit de matrices

• Matrices symétriques et antisymétriques. Décomposition en parties symétrique et antisymétrique

Résolution de systèmes linéaires (normalement, ce sont des révisions)

• Rang d’une matrice.

• Existence, unicité de la solution d’un système linéaire

• Décomposition en solution particulière + solutions générales du système homogène

• Méthode de Gauss, factorisation LU + algo simple

• Inversion d’une matrice nxn  résolution de n systèmes linéaires

• Quelques exemples (certains en TD) : résolution par différences finies de l’équation de la chaleur 1D, approximation par méthode des moindres carrés…

Déterminants

• Formes n-linéaires alternées

• Déterminants

• Propriétés élémentaires

Réduction des matrices

• Définition vecteurs propres, valeurs propres, spectre, rayon spectral

• Polynômes caractéristiques

• Indépendance des vecteurs propres

• Diagonalisation

• Cas particulier des matrices symétriques réelles

• Exemples d’utilisation pour la résolution de systèmes différentiels

• Si on a le temps :

  • idée sur les méthodes pratiques de calcul : méthode de la puissance

  • Conditionnement d’une matrice. Lien avec la précision des calculs