Deux parties :
Fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples
Calcul matriciel et résultats pratiques sur la diagonalisation.
A quoi ces outils doivent-ils leur servir ?
Sur la partie « fonctions de plusieurs variables » : opérateurs aux dérivées partielles et calculs liés aux principales lois de la physique et de la mécanique, optimum d’une fonction de plusieurs variables,…
Sur la partie « calcul matriciel » : calcul de valeurs propres et de modes propres (structures, acoustique, diagonalisation de systèmes différentiels…), représentation et manipulation de tableaux (informatique),…
PROGRAMME
DETAILLE
PARTIE 1 : Fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel et intégral
Fonctions de plusieurs variables réelles
Définition générale, continuité (on se restreint à Rn R, et on travaillera en pratique avec n=2, voire 3. Le cas général Rn Rp sera indiqué dans le poly)
Fonctions de deux variables réelles
Représentation graphique : 3D, lignes de niveaux
Exemples : polynômes à plusieurs variables, quadriques…
Coordonnées polaires
Fonctions de trois variables réelles
Coordonnées cylindriques et sphériques
Dérivées partielles
Dérivée directionnelle
Dérivées partielles
Différentielle
Différentielle de fonctions composés (changement de variables)
dérivées secondes, dérivées d’ordre quelconque, théorème de Schwarz (admis)
Formule de Taylor à l’ordre 2 pour les fonctions de deux variables (généralisation à un ordre quelconque pour les fonctions de plusieurs variables dans le poly)
Optimisation d’une fonction de plusieurs variables
Condition nécessaire d’extrémum d’une fonction de plusieurs variables : grad f = 0
Discussions sur les extrema
Exemples d’applications : approximation par moindres carrés, minimisation d’un coût…
Intégrales multiples
Description d’un domaine de Rn
Intégrales doubles et triples, calculs d’aires et de volumes
Changement de variables dans une intégrale multiple
Opérateurs aux dérivées partielles
Gradient, rotationnel, divergence, laplacien
Interprétation physique de ces opérateurs
Composition de ces opérateurs
Exemples d’équations aux dérivées partielles
Expression des opérateurs en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques
Formules d’intégration par parties : théorème de divergence de Gauss, théorème de Stokes, formules de Green
PARTIE 2 : Calcul matriciel, déterminants, diagonalisation
Du tableau rectangulaire à l’espace vectoriel M(m,n)
Représentation matricielle d’une application linéaire
Représentation matricielle d’un système linéaire
Représentation matricielle d’un système différentiel
Vecteurs lignes et vecteurs colonnes
Matrices particulières : diagonales, triangulaires, bandes…
Transposée
Addition, multiplication par un scalaire, produit de matrices
Matrices symétriques et antisymétriques. Décomposition en parties symétrique et antisymétrique
Rang d’une matrice.
Existence, unicité de la solution d’un système linéaire
Décomposition en solution particulière + solutions générales du système homogène
Méthode de Gauss, factorisation LU + algo simple
Inversion d’une matrice nxn résolution de n systèmes linéaires
Quelques exemples (certains en TD) : résolution par différences finies de l’équation de la chaleur 1D, approximation par méthode des moindres carrés…
Déterminants
Formes n-linéaires alternées
Déterminants
Propriétés élémentaires
Définition vecteurs propres, valeurs propres, spectre, rayon spectral
Polynômes caractéristiques
Indépendance des vecteurs propres
Diagonalisation
Cas particulier des matrices symétriques réelles
Exemples d’utilisation pour la résolution de systèmes différentiels
Si on a le temps :
idée sur les méthodes pratiques de calcul : méthode de la puissance
Conditionnement d’une matrice. Lien avec la précision des calculs