### Cours ENSIMAG 2A / MSIAM M1 : Variational methods applied to modeling

With Clément Jourdana.

Lectures notes (French). Sujets d'examen de mai : 2009 2010 2012 2014 20152016
Lecture 1 and 2: Introduction to variational formulation and Sobolev spaces. Slides (english) Slides (french).
Lecture 3: Variational formulation of elliptic problems, examples (on the blackboard)

Introduction :
In the first semester, you discussed finite difference methods for EDP resolution. A major disadvantage of this approach is that it relies on a Cartesian grid, which makes it difficult to apply it to non-rectangular domains. This method worked directly on a discretization of the equation via a discretization of the domain. In this course we introduce methods of finite elements, whose mind is a little different and more abstract. It is essentially to discretize the space of solutions sought rather than the domain on which the equation is posed (although in the finite element method we will see that to discretize space, we will use a discretization of field). This type of approach, much more powerful, allows to deal with coupled phenomena of great complexity that one encounters in engineering. The aim of this course is to become familiar with the method and to study its application to some model problems.

Content
I - Boundary problems and variational forms. Spaces of Sobolev.
II - Stationary models / Elliptic equations
Variational framework. Symmetric case and link minimization. Formulas of Green.
III - Introduction to modeling from a few examples: Thermal (1D / 2D, Stationary / unsteady), transport, elasticity (Lamé) and fluids (Stokes), fluid-structure coupling (flow around an elastic obstacle). Discussion of the mathematical difficulties specific to each type of phenomenon.
IV - Finite element method: basic functions, algorithms, implementation, a priori error analysis. Term of transport and stabilization. Nonlinear case and linearization.
IV - Unsteady models / Parabolic equations.
Temporal schemes and splitting methods. Diagrams DF - EF.
IV - Possible extensions: ALE method for fluid-structure coupling, model reduction, discontinuous Galerkin, a posteriori analysis and mesh refinement. Some of these extensions can be addressed in the context of the TP.

A lire en complément du cours, et pour aller plus loin …
Livres :
G. ALLAIRE : Analyse numérique et optimisation. Edts de l'école polytechnique.
Un incontournable : version PDF disponible sur la page de l'auteur et si vous l'aimez lien amazon.fr.
A. QUARTERONI and A. VALLI : Numerical approximation of PDEs, Springer.
A. Ern, J.-L. Guermond, Eléments finis : théorie, applications, mise en oeuvre, Springer.
P.-A. RAVIART et J.-M. THOMAS : Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Coll. Mathématiques appliquées pour la Maîtrise, Dunod

Liens internets :
Page éléments finis de Wikipedia, Cours éléments finis à Strasbourg (côté mécanique), Cours éléments finis de Marseille (côté mécanique), Cours éléments finis de Polytechnique Montréal (côté Mathématiques), Le cours d'Analyse Numérique de Strang au MIT (vidéo), Computational Science and Engineering I de Strang, Mathematical Methods for Engineers II de Strang

Logiciels Open Source :
FreeFEM++ le logiciel éléments finis que vous utiliserez en TP.
Feel++ (anciennement Life) une biblitohèque éléments finis maintenue en particulier par Christophe Prud'homme (LJK/UJF).
Rheolef un environement de développement éléments finis maintenue en particulier par Pierre Saramito (LJK/CNRS).
Getfem++ une bibliothèque éléments finis maintenue par Yves Renard (INSA Lyon), un ancien grenoblois !
ASTER un logiciel dévelopé par EDF R&D et OpenSource depuis 2001.
Elmer un logiciel de simulation multiphysique développé par des Finlandais.
FEnics une sorte de FreeFEM américain.
OpenFoamune biblitohèque spécialisée dans la mécaniques des fluides numériques.

Logiciels Commerciaux :
COMSOL Multiphysics un logiciel presse-bouton pour résoudre très facilement de nombreuses EDP de la physique et leur couplage, avec des menus déroulants et tout et tout. Si vous savez vous servir d'un des logiciels ci-dessus, celui-là sera très facilement utilisable, et a été plutôt développé au départ pour des non spécialistes.
ANSYS un des gros logiciels de calcul scientifique dans un contexte industriel.
Abaqus un logiciel multiphysique commercial appartenant à Dassault.

Survol de la méthode :
Cette nouvelle méthode ne travaille pas directement sur l’équation mais sur une formulation al- ternative de celle-ci. Prenons par exemple le problème aux limites associé à l’équation aux dérivées partielles du second ordre la plus simple,

$(1)\quad-\Delta u=f\text{ sur }\Omega,\qquad u=0 \text{ sur }\partial\Omega$

$\Omega$ est un domaine borné de $\mathbb{R}^N$, $N=2$ ou $3$ en pratique. On appelle solution classique de ce problème une fonction $u:\Omega\to\mathbb{R}$ telle que $u\in\mathcal{C}^2(\Omega)\cap\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$ et vérifiant (1). Soit $v\in\mathcal{C}^2(\Omega)\cap\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$ nulle sur $\partial\Omega$, et multiplions la première équation de (1) par $v$, puis intégrons par parties :

$\qquad\int_\Omega -\Delta u\, v dx = \int_\Omega f v dx.$

D'après la formule de Green qu'on rappellera plus loin, du fait de la condition homogène au bord nous avons

$\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v dx = \int_\Omega f v dx,$

et ceci pour toute fonction $v$ dans $\mathcal{C}^2(\Omega)\cap\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$ s'annulant au bord. Appelons $V$ l'espace de ces fonctions. La transformation du problème classique (1) en

$(2)\quad\text{Trouver }u\in V, \forall v\in V,\quad\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v dx = \int_\Omega f v dx$

consiste à écrire la formulation variationnelle du problème. Cette dénomination vient du fait qu’elle revient à écrire la variation d’une certaine énergie définie sur un espace de fonctions. D’un point de vue mécanique, et c’est cette communauté qui s’est intéressée la première à cette formulation, cela correspond à écrire un principe des travaux virtuels : le travail de la force $f$ lors d'un déplacement $v$ dans le membre de droite de (2) correspond à une variation de l’énergie du système dans le membre de gauche. Remarquons la dualité qui existe entre la formulation classique (1) qui peut se réécrire

$\text{Trouver }u\in V, \forall x\in \Omega,\quad-\Delta u(x)=f(x)$

et la formulation variationnelle (2), entre l'espace des points $\Omega$ et l'espace des fonctions $V$.

L'existence de solution à (2) est obtenue grâce au théorème de Lax-Milgram, qui donne des conditions suffisantes pour qu'une équation de la forme

$\text{Trouver }u\in V, \forall v\in V,\quad a(u,v)=\ell(v)\label{fv}$

admette une unique solution. Dans cette équation $a$ est une forme bilinéaire et $\ell$ une forme linéaire. Ce théorème est démontre lorsque $V$ est un espace de Hilbert. Or si on regarde quelle régularité est nécessaire pour que les termes de (2) aient un sens, on voit qu'il suffit que $u$ et $v$ appartiennent à $\mathcal{C}^1(\Omega)\cap\mathcal{C}^0(\overline{\Omega})$. C'est un autre avantage de la formulation variationnelle : la régularité demandée a priori pour que l'équation ait un sens est plus faible que dans la formulation classique. Cela aura un impact sur la capacité de la méthode à être performante pour des applications où la régularité des solutions est problématique : propagation de fissure, forces singulières etc…

L'ennui est que l'espace $V=\left\{u\in \mathcal{C}^1(\Omega)\cap\mathcal{C}^0(\overline{\Omega}),\; u=0\text{ sur } \partial\Omega\right\}$ n'est pas hilbertien (il n'est pas complet). C’est pourquoi nous allons commencer par introduire les complétés d’espaces de ce type (espaces de Sobolev). Nous allons y passer un peu de temps car ils sont au coeur de la méthode variationnelle dont les éléments finis sont un cas particulier. La difficulté principale rencontrée lors de l’étude de ces espaces et qu’en les complétant, les espaces de fonctions régulières perdent de leur régularité et la notion même de valeur d’une fonction sur le bord d’un domaine devient non triviale. C’est le prix à payer pour aborder ces méthodes, mais il sera récompensé par une élégance et puissance de la formulation qui dépasse celle de la méthode des différences finies. Pour revenir au fil de notre cours, après l’introduction des espaces de Sobolev et leur principales propriétés nous aborderons la théorie abstraire de Lax-Milgram et verrons comment formuler quelques problèmes aux limites classiques. L’approximation se fait alors directement sur l’espace $V$. On écrira une formulation variationnelle approchée sur un sous-espace de dimension finie de $V$ :

$\text{Trouver }u_{h}\in V_{h}, \forall v_{h}\in V_{h},\quad a(u_{h},v_{h})=\ell(v_{h}).$

Ce sous-espace sera censé approcher $V$ en un sens à préciser lorsque $h\to0$. Sur ce sous-espace, le problème se ramène à la résolution d'un système linéaire dont les inconnues sont les coordonées de l'inconnue approchée dans une base de $V_{h}$.

La question centrale de l'analyse numérique est l'estimation de l'erreur qu'on commet en rempla\c{c}ant un problème continu (sans solution explicite en général) par un problème approché qu’on pourra implémenter sur machine. La méthode variationnelle offre un cadre très élégant en ramenant l’estimation d’erreur entre la solution approchée $u_{h}\in V_{h}$ et la solution exacte $u\in V$ à un problème d'approximation de $u$ par des fonctions de $V_{h}$.

Les différentes méthodes éléments finis qui en découlent correspondent à autant de choix de l’espace $V_{h}$ et à l’étude de l’erreur d’approximation correspondante. Nous conclurons ce cours sur ces questions.

Pour résumer, l’approche variationnelle dont les éléménts finis sont un cas particulier correspond aux étapes suivantes qui structureront la suite du cours :

1. Choix de l'espace $V$ et formulation variationnelle du problème aux limites.
2. Application du théorème de Lax-Milgram sur $V$.
3. Discrétisation de l'espace $V$ et formulation variationnelle approchée.
4. Estimation de l'erreur d'approximation et résultat de convergence.
5. Implémentation (avec FreeFem++ et/ou Life).