Jury de Thèse :
Michel Pierre (président du jury), Grégoire Allaire (rapporteur externe),Jacques Blum (rapporteur externe), Bopeng Rao (rapporteur interne),
Vilmos Komornik (directeur de Thèse), Antoine Henrot (codirecteur de Thèse).
Mon travail de thèse porte sur
des aspects théoriques et numériques de l'optimisation de
forme ainsi que sur la stabilisation de fonctions solutions
d'équations aux dérivées partielles. Dans la
première partie, on s'intéresse à la minimisation
des valeurs propres du laplacien avec conditions aux limites de
Dirichlet. On étudie plus particulièrement la
minimisation de la seconde valeur propre du laplacien sous contraintes
de volume et de convexité. Après avoir
démontré certaines propriétés qualitatives
d'un ouvert optimal (régularité minimale et maximale,
description géométrique du bord), nous répondons
à une question posée par Troesh en 1973 : le stade
(enveloppe convexe de deux disques tangents de mêmes rayons)
n'est pas un ouvert optimal pour ce problème d'optimisation.
Dans
un deuxième chapitre, nous présentons différents
résultats numériques ayant trait à la minimisation
d'une valeur propre de rang donné. Dans un second temps, nous
exposons certaines propriétés qualitatives d'un ensemble
solution d'un problème de transport optimal. Là encore,
ce travail est complété par des illustrations
numériques obtenues à l'aide d'un algorithme de type
stochastique. Le travail de la dernière partie est
consacré à la stabilisation rapide de l'équation
des ondes par des méthodes d'analyse non harmonique. Nous y
présentons aussi un nouveau résultat de monotonie
concernant des suites de zéros des dérivées de
fonctions de Bessel.
Mots-clés.
Optimisation de forme, valeurs propres du laplacien, algorithme génétique, méthode des lignes de niveaux, relaxation, transport optimal, stabilisation rapide, fonctions de Bessel.This work is devoted to the theoretical and numerical aspects of shape optimization and stabilization. The first part deals with the minimization of eigenvalues for the Laplacian operator with homogeneous Dirichlet boundary condition with respect to the domain. More precisely, we study the minimization of the second eigenvalue among convex domains of given area. First, we describe the geometrical properties of the boundary of an optimal shape. In a second step, we refute a conjecture made by Troesch in 1973 : the stadium convex hull of two identical tangent disks is not optimal for this problem. The chapter 2 and 3 are devoted to the numerical approximation of an optimal shape in eigenvalues problems. In the second part of this thesis, we present some qualitative properties of a set solving an optimal transportation problem. Furthermore, we introduce a new algorithm based on stochastic techniques in order to describe an optimal transport. Finally, we prove a fast stabilization theorem for the wave equation defined on an angular sector. In addition, we give a new result on the monotonicity of the zeros of Bessel's functions.
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