Calculus of Variations and Geometry

December 8th - 9th 2011
Institut Fourier/LJK Grenoble (France)
Sponsored by the FOG and the GAOS ANR projects


Thursday's Program

TimeSpeakerTitlePlace
13h30-14h00 Welcome Coffee IRMA Tower (LJK)
14h00-15h00 Filipo Santambrogio (Orsay) Length optimization and length-constrained problems: regularity, application and perspectives IRMA Tower (LJK)
15h00-16h00 Simon Masnou (Lyon 1) Sur une fonctionnelle de Willmore généralisée et sa relaxation IRMA Tower (LJK)
16h00-16h30 Coffee Break IRMA Tower (LJK)
16h30-17h30 Camille Petit (Grenoble) Rectifiabilité, intégrales singulières et voyageur de commerce dans le groupe de Heisenberg IRMA Tower (LJK)

Friday's Program

TimeSpeakerTitlePlace
8h30-9h00 Coffee MJK
9h00-10h00 Benoit Kloeckner (Grenoble) Optimisation linéaire pour la conjecture isopérimétrique de Cartan-Hadamard MJK
10h00-11h00 Lorenzo Brasco (Marseille) Stability of optimal shapes for the stekloff-laplacian MJK
11h00-12h00 Carlo Mantegazza (Pise) A density function for the Ricci Flow MJK
12h00 Lunch Break MJK

Abstracts

Filipo Santambrogio Length optimization and length-constrained problems: regularity, application and perspectives
I will start from the so-called "irrigation" or "average distance" problem, where we look for a set Σ with prescribed length L so as to minimize a criterion like ∫ d(x,Σ)dx, presenting the main features of the problem, as it was introduced by Buttazzo-Oudet and Stepanov. In particular, I will focus on the regularity results and on the asymptotics as L → ∞. Many results will recall both the Steiner optimal connection problem or the 2-dimensional Mumford-Shah problem. After that, I will briefly introduce some variants, where the criterion is represented by a more classical functional in shape optimization: either the compliance or some eigenvalue. I will finish with a comparison with the optimal location problems, both in their long-term ans short term (i.e., sequential allocation) versions, and introduce a short-term version of the irrigation problem, which is a matter of current reseach.

Simon Masnou Sur une fonctionnelle de Willmore généralisée et sa relaxation
L'exposé portera sur une fonctionnelle du second ordre qui peut s'écrire, pour les fonctions régulières de Rn dans R, comme l'intégrale d'une énergie de type Willmore dépendant de la courbure moyenne calculée sur les bords de chaque ensemble de niveau. La minimisation d'une telle fonctionnelle intervient dans certains problèmes de frontières libres, notamment en traitement des images. Or des situations délicates de concentration et d'oscillation diffuse apparaissent dans certaines configurations limites lorsqu'on étudie la relaxée de la fonctionnelle pour la topologie forte de L1. Je présenterai un nouvel outil pour l'étude de cette relaxée, basé sur les mesures de Young et les varifolds, qui permet de capturer correctement les configurations limites. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Giacomo Nardi (Paris 9).

Camille Petit Rectifiabilité, intégrales singulières et voyageur de commerce dans le groupe de Heisenberg
Après avoir rappelé les définitions et certaines propriétés des ensembles rectifiables et uniformément rectifiables dans les espaces euclidiens, nous nous intéresserons à des notions analogues dans le groupe de Heisenberg. Ce sera l'occasion d'aborder des problèmes de bornitude de certaines intégrales singulières ou encore le problème géométrique du voyageur de commerce dans le premier groupe de Heisenberg.

Benoit Kloeckner Optimisation linéaire pour la conjecture isopérimétrique de Cartan-Hadamard
La conjecture de Cartan-Hadamard prédit que toute variété simplement connexe à courbure négative ou nulle vérifie l'inégalité isopérimétrique de l'espace euclidien de même dimension. Cette conjecture a été résolue par Weil en dimension 2, Croke en dimension 4 et Kleiner en dimension 3, par trois méthodes différentes. Le but de l'exposé est de présenter un travail en commun avec Greg Kuperberg, où à partir d'idées simple d'optimisation linéaire nous améliorons la méthode de Croke pour obtenir une démonstration unifiée en dimensions 2 et 4, ainsi que différents résultats nouveaux sur des généralisations classiques de la conjecture.

Lorenzo Brasco Stability of optimal shapes for the stekloff-laplacian
In this talk, we are concerned with the following spectral optimization problem under measure constraint:
min { σ2(Ω), : Ω ⊂ RN, |Ω|=c}
where σ2(Ω) denotes the first non trivial Stekloff eigenvalue σ2 of the Laplacian. The solution to this problem is given by any ball having measure c, as proved by Weinstock (case of dimension 2) and Brock (general case): this result is sometimes known as the Brock-Weinstock inequality. We show how to enforce this inequality, by means of a quantitative stability estimate: in particular, calling σ2* the minimal value, this implies that the deficit functional σ2(Ω)-σ2* controls the distance of Ω from the space of balls. We also discuss the question of sharpness for such a stability estimate, as well as some other related issues. These results are contained in a recent joint work with Guido De Philippis and Berardo Ruffini (both from the Scuola Normale Superiore, Pisa).

Carlo Mantegazza (joint work with Reto Mueller) A density function for the Ricci Flow
Inspired by the density function for mean curvature flow introduced by A. Stone and based on Huisken's monotonicity formula, we define a similar quantity for the Ricci flow, related to the monotonicity of Perelman's W-functional. We discuss its connection with the singularities in the "Type-I case" and we give an alternative proof of the result of Enders, Mueller and Topping that at around a type-one singular point, blowing-up the flow in a suitable way, one obtains a shrinking gradient Ricci soliton in the geometric limit (in every dimension). In perspective, this line of analysis could work also for general singular points (also type-II) in dimension two and three (and very hopefully four). This would give another and more natural method to get an asymptotic shrinking gradient Ricci soliton, alternative to Perelman's blow-up/blow-down procedure.

Places

  • On thursday, the talks will be given at the ground floor of the IRMA tower of the LJK: 51 rue des Mathématiques, domaine Universitaire, 38400 Saint Martin d'Hères.

  • On friday, the talks will be given at the first floor of the Maison Jean Kuntzmann (MKJ): MI2S-UMS, Maison Jean Kuntzmann, 110 rue de la chimie, domaine Universitaire, 38400 Saint Martin d'Hères.

    • Contacts

    Zindine Djadli, Institut Fourier.

    Edouard Oudet , Laboratoire Jean Kuntzmann.