La géométrie du triangle

Les Éléments d'Euclide, écrits au III^e siècle avant notre ère, contenaient déjà de nombreux résultats sur la géométrie des triangles. Les formulations d'Euclide sont très différentes des nôtres, car il ne disposait pas des fonctions trigonométriques et raisonnait uniquement en termes de longueurs et d'aires. De plus il n'était pas question de traiter les quantités à ôter comme des quantités négatives à ajouter. Pour cette raison, les propositions 12 et 13 du livre II des Éléments, séparent le cas d'un triangle obtusangle (ayant un angle obtus) et celui d'un triangle acutangle (dont tous les angles sont aigus). La proposition 12 est énoncée comme suit. Avec un peu de réflexion, vous devriez pouvoir y reconnaître le théorème d'Al-Kashi. Dans les triangles obtusangles, le carré du côté qui soutient l'angle obtus est plus grand que les carrés des deux autres côtés, de la quantité de deux fois le rectangle formé d'un des côtés contenant l'angle obtus, à savoir celui sur le prolongement duquel tombe la hauteur, et de la ligne prise en-dehors entre le pied de la hauteur et l'angle obtus. L'astronome et mathématicien Al-Battani généralisa le résultat d'Euclide à la géométrie sphérique au début du X^e siècle, ce qui lui permit d'effectuer des calculs de distance angulaire entre étoiles. Ghiyath Al-Kashi, mathématicien de l'école de Samarcande, mit le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation, au cours du XV^e siècle.

Figure 12: Le théorème de Napoléon.

On ignore si le théorème suivant, attribué à Napoléon Bonaparte en 1797, était ou non connu des grecs.

Théorème 5   Soit $ABC$ un triangle quelconque. Soient $X,Y,Z$ les isobarycentres des $3$ triangles équilatéraux extérieurs au triangle $ABC$, construits sur chacun des trois côtés. Le triangle $XYZ$ est équilatéral (figure 12).

Il est connu que Napoléon se piquait de mathématiques, et qu'il a eu plusieurs conversations avec Laplace et Lagrange. Sur ses capacités réelles, les avis divergent, selon l'interprétation de ce que lui aurait dit Laplace. Voici deux versions.

1. H. Poincaré : «Nous attendions tout de vous, Général, sauf des leçons de géométrie» 
2. H.S.M. Coxeter et S.L. Greitzer : «The last thing we want from you, General, is a lesson in engineering» 

À vous de choisir ! En attendant, vous pouvez démontrer vous-même le théorème de Napoléon, par exemple en utilisant le calcul dans le plan complexe. Le magnifique théorème suivant, en revanche, ne prête pas à polémique. Il a bien été démontré par Frank Morley (1860-1937), en 1899.

Théorème 6   Soit $ABC$ un triangle quelconque. Soient $X,Y,Z$ les points d'intersection deux à deux des trissectrices adjacentes du triangle. Le triangle $XYZ$ est équilatéral (figure 13).

Pourquoi les grecs ne l'avaient-ils pas trouvé ? Peut-être parce qu'il est impossible de construire les trissectrices d'un angle à la règle et au compas...

Figure 13: Le théorème de Morley.