Vocabulaire

Une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est définie par son graphe : c'est un sous-ensemble $\Gamma$ de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, tel que pour tout $x\in\mathbb{R}$, au plus un réel $y$ vérifie $(x,y)\in\Gamma$. S'il existe, ce réel $y$ est l'image de $x$ et est noté $f(x)$. L'ensemble des $x$ qui ont une image par $f$ est le domaine de définition de $f$. Nous le noterons ${\cal D}_f$. La notation standard est la suivante :

$$\begin{array}{rcl} &f&\\ {\cal D}_f&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&f(x) \end{array}$$

Si $A$ est un sous-ensemble de ${\cal D}_f$, l'image de $A$, notée $f(A)$, est l'ensemble des images des éléments de $A$.

$$f(A)=\{ f(x) ,\;x\in A \}$$

Si $B$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$, l'image réciproque de $B$, notée $f^{-1}(B)$, est l'ensemble des antécédents des éléments de $B$.

$$f^{-1}(B)=\{ x\in{\cal D}_f ,\;f(x)\in B \}$$

Attention à la notation $f^{-1}$ : $f^{-1}(B)$ est défini même si $f$ n'est pas bijective. Par exemple, si $f$ est l'application valeur absolue, $x\mapsto \vert x\vert$,

$$f(]-2,1[)=[0,2[$$   et$$\quad f^{-1}([1,2]) = [-2,-1]\cup[1,2]$$

Définition 1   Soit $f$ une fonction, de domaine de définition ${\cal D}_f$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. On dit que $f$ est :

$\bullet$

constante si $\forall x,y\in {\cal D}_f\;,\quad f(x)=f(y)$

$\bullet$

croissante si $\forall x,y\in {\cal D}_f\;,\quad (x\leqslant y)\Longrightarrow(f(x)\leqslant f(y))$

$\bullet$

décroissante si $\forall x,y\in {\cal D}_f\;,\quad (x\leqslant y)\Longrightarrow(f(x)\geqslant f(y))$

$\bullet$

strictement croissante si $\forall x,y\in {\cal D}_f\;,\quad (x< y)\Longrightarrow(f(x)< f(y))$

$\bullet$

strictement décroissante si $\forall x,y\in {\cal D}_f\;,\quad (x< y)\Longrightarrow(f(x)> f(y))$

$\bullet$

monotone si elle est croissante ou décroissante

$\bullet$

majorée si $f({\cal D}_f)$ est majoré

$\bullet$

minorée si $f({\cal D}_f)$ est minoré

$\bullet$

bornée si $f({\cal D}_f)$ est borné

Le plus souvent, ces définitions s'appliqueront à des restrictions de $f$ à un intervalle $I$ inclus dans ${\cal D}_f$.

$$\begin{array}{rcl} &f_{\vert I}&\\ I&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&f(x) \end{array}$$

Définition 2   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $x\in {\cal D}_f$. Soit $P$ une des propriétés de la définition 1. On dit que $f$ possède la propriété $P$

$\bullet$

au voisinage de $x$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $x$, tel que la restriction de $f$ à $I$ possède la propriété $P$.

$\bullet$

au voisinage de $+\infty$ s'il existe un réel $A$ tel que la restriction de $f$ à $]A,+\infty[$ possède la propriété $P$.

$\bullet$

au voisinage de $-\infty$ s'il existe un réel $A$ tel que la restriction de $f$ à $]-\infty,A[$ possède la propriété $P$.

Par exemple, la fonction valeur absolue $x\mapsto \vert x\vert$, est :

$\bullet$

décroissante au voisinage de $-\infty$

$\bullet$

décroissante au voisinage de $-1$

$\bullet$

croissante au voisinage de $1$

$\bullet$

croissante au voisinage de $+\infty$

$\bullet$

bornée au voisinage de 0

Les opérations sur les réels s'étendent aux fonctions de manière naturelle.

$\bullet$

addition :

$$\begin{array}{rcl} &f+g&\\ {\cal D}_f\cap{\cal D}_g&\longri... ...rrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&(f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{array}$$

$\bullet$

multiplication :

$$\begin{array}{rcl} &fg&\\ {\cal D}_f\cap{\cal D}_g&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&(fg)(x)=f(x)g(x) \end{array}$$

$\bullet$

multiplication par un réel :

$$\begin{array}{rcl} &\lambda f&\\ {\cal D}_f&\longrightarrow... ...bb{R}\\ x&\longmapsto&(\lambda f)(x)=\lambda(f(x)) \end{array}$$

$\bullet$

comparaison :

$$f\leqslant g\;\Longleftrightarrow\; \forall x\in{\cal D}_f\cap{\cal D}_g ,\;f(x)\leqslant g(x)$$

L'addition a les mêmes propriétés que celle des réels : l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ muni de l'addition est un groupe commutatif. Muni de l'addition et de la multiplication par un réel, c'est un espace vectoriel. Cependant, le produit de deux fonctions peut être nul sans que les deux fonctions le soient.