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QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; 2y(t)y'(t)=1$ .
\framebox{A}
$ t\mapsto y(t)=\sqrt{t}$ est solution de $ (E)$ sur $ ]0,+\infty[ $ .
\framebox{B}
$ t\mapsto y(t)=\sqrt{t-1}$ est la seule solution de $ (E)$ sur $ ]1,+\infty[ $ .
\framebox{C}
$ t\mapsto y(t)=\sqrt{1-t}$ est solution de $ (E)$ sur $ ]-\infty,1[ $ .
\framebox{D}
Pour tout $ C\in\mathbb{R}$ , $ (E)$ possède des solutions définies sur $ ]C,+\infty[ $ .
\framebox{E}
$ (E)$ possède des solutions définies sur $ \mathbb{R}$ .

Question 2   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y'(t)(1-t)=y$ .
\framebox{A}
L'ensemble des solutions de $ (E)$ sur $ ]1,+\infty$ est une droite vectorielle.
\framebox{B}
Toutes les solutions de $ (E)$ sont définies sur $ \mathbb{R}$ .
\framebox{C}
L'équation $ (E)$ possède une solution définie sur $ \mathbb{R}$ .
\framebox{D}
Les solutions de $ (E)$ sur $ ]-\infty,1[ \cup ]1,+\infty[$ sont toutes de la forme $ C/(1-t)$ , où $ C$ est une constante réelle.
\framebox{E}
L'ensemble des solutions réelles de $ (E)$ sur $ ]-\infty,1[ \cup ]1,+\infty[$ est un espace vectoriel de dimension $ 1$ .

Question 3   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y^2(t)y'(t)=t^2(1-y^3)$ .
\framebox{A}
L'équation $ (E)$ et l'équation $ y^2(t)y'(t)/(1-y^3)=t^2$ ont les mêmes solutions.
\framebox{B}
L'ensemble des solutions de $ (E)$ sur $ \mathbb{R}$ est une droite vectorielle.
\framebox{C}
La fonction $ t\mapsto y(t)=1$ est la seule solution constante de $ E$ .
\framebox{D}
L'équation $ (E)$ possède une unique solution définie sur $ \mathbb{R}$ et telle que $ y(0)=-1$ .
\framebox{E}
La solution générale de $ (E)$ est $ 1-C\mathrm{e}^{t^3}$ , où $ C$ est une constante réelle.

Question 4   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y'(t)=y(t)/t^{2}+1/t^{2}$ .
\framebox{A}
La fonction $ t\mapsto y(t)=-1+\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $ (E)$ sur $ \rbrack 0,+\infty\lbrack$ .
\framebox{B}
La fonction $ t\mapsto y(t)=1-\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $ (E)$ sur $ \rbrack -\infty ,0\lbrack$ .
\framebox{C}
La fonction $ t\mapsto y(t)=2\mathrm{e}^{1/t}$ est solution de $ (E)$ sur $ \rbrack 0,+\infty\lbrack$ .
\framebox{D}
La solution de $ (E)$ sur $ \rbrack 0,+\infty\lbrack$ vérifiant $ y(1)=-1$ est constante.
\framebox{E}
La fonction $ t\mapsto y(t)=2\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $ (E)$ sur $ \mathbb{R}$ .

Question 5   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y'(t)=\displaystyle{\frac{2t-1}{t^2}}y(t)+1$ .
\framebox{A}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t^2$ est solution de $ (E)$ sur $ \mathbb{R}$ .
\framebox{B}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t^2(1+\mathrm{e}^{-1/t})$ est solution de $ (E)$ sur $ \mathbb{R}$ .
\framebox{C}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t^2(1-\mathrm{e}^{1/t})$ est solution de $ (E)$ sur $ \rbrack 0,+\infty\lbrack$ .
\framebox{D}
La fonction $ t\mapsto y(t)=2t^2\mathrm{e}^{1/t}$ est solution de $ (E)$ sur $ \rbrack 0,+\infty\lbrack$ .
\framebox{E}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t^2(1-\mathrm{e}^{1/t})$ est solution de l'équation sans second membre associée à $ (E)$ .

Question 6   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y''(t)=6y'(t)-9y(t)$ .
\framebox{A}
La fonction $ t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{3t}-t\mathrm{e}^{3t}$ est l'unique solution de $ (E)$ vérifiant $ y(1)=0$ .
\framebox{B}
La fonction $ t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{3t}-t\mathrm{e}^{3t}$ est une solution de $ (E)$ vérifiant $ y(1)=0$ .
\framebox{C}
Le réel $ 3$ est racine simple de l'équation caractéristique associée.
\framebox{D}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{3t})$ est solution de $ (E)$ .
\framebox{E}
Toutes les solutions de $ (E)$ sont définies sur $ \mathbb{R}$ .

Question 7   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y''(t)=2y'(t)-5y(t)$ .
\framebox{A}
La fonction $ t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}\cos(2t)$ est une solution de $ (E)$ vérifiant $ y(0)=1$ .
\framebox{B}
La fonction $ t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}$ est l'unique solution de $ (E)$ vérifiant $ y(0)=1$ .
\framebox{C}
Pour tout $ \varphi\in\mathbb{R}$ , $ t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^t\sin(2t-\varphi)$ est solution de $ (E)$ .
\framebox{D}
L'équation caractéristique associée a deux racines réelles.
\framebox{E}
La fonction $ t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}\sin(t)$ est solution de $ (E)$ .

Question 8   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y''(t)=2y'(t)-y(t)+2\mathrm{e}^t$ .
\framebox{A}
Toute fonction de la forme $ t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$ , où $ P$ est un polynôme de degré $ 2$ , est solution de $ (E)$ .
\framebox{B}
L'équation $ (E)$ admet une infinité de solutions de la forme $ t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$ , où $ P$ est un polynôme de degré $ 2$ .
\framebox{C}
L'équation $ (E)$ admet une infinité de solutions de la forme $ t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$ , où $ P$ est un polynôme de degré $ 1$ .
\framebox{D}
L'équation $ (E)$ admet une solution de la forme $ t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$ , où $ P$ est un polynôme de degré $ 3$ .
\framebox{E}
L'unique solution de $ (E)$ telle que $ y(0)=y'(0)=0$ est $ t\mapsto y(t)=t^2\mathrm{e}^t$ .

Question 9   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; y''(t)=-4y(t)+4\cos(2t)$ .
\framebox{A}
Il existe une constante $ C$ telle que la fonction $ t\mapsto Ct\cos(2t)$ soit solution de $ (E)$ .
\framebox{B}
Toute solution de $ E$ est de la forme $ t\mapsto y(t)=C_1t\cos(2t)+C_2t\sin(2t)$ , où $ C_1$ et $ C_2$ sont deux constantes réelles.
\framebox{C}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t\sin(2t)$ est l'unique solution de $ (E)$ telle que $ y(0)=y'(0)=0$ .
\framebox{D}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t\cos(2t)$ est l'unique solution de $ (E)$ telle que $ y(0)=0$ et $ y'(0)=1$ .
\framebox{E}
L'ensemble des solutions de $ (E)$ est un plan affine.

Question 10   On considère l'équation différentielle $ (E) :\; t^2y''(t)=ty'(t)-2y(t)+t$ .
\framebox{A}
Si on pose $ t=\mathrm{e}^x$ et $ z(x)=y(t)$ , alors $ z$ est solution de l'équation $ z''(x)=z'(x)-2z(x)+\mathrm{e}^x$ .
\framebox{B}
La fonction $ t\mapsto y(t)=t$ est l'unique solution de $ (E)$ définie sur $ \mathbb{R}$ .
\framebox{C}
Si $ y$ est solution de $ (E)$ sur $ ]0,+\infty[ $ , alors $ t\mapsto y(-t)$ est solution de $ (E)$ sur $ ]-\infty,0[ $ .
\framebox{D}
L'équation $ (E)$ admet une infinité de solutions définies sur $ \mathbb{R}$ .
\framebox{E}
L'équation $ (E)$ est une équation de Bernoulli.

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Réponses : 1-AD 2-AC 3-CD 4-AD 5-AC 6-BE 7-AC 8-BE 9-CE 10-BC



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