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Modelos

Vamos a dar tres ejemplos de experimentos aleatorios que nos permitirán discernir el papel que desempeñan las matemáticas y la simulación, respectivamente, en la modelación de experimentos aleatorios.

Ejemplo 1 : Aguja de Buffon.

Se lanza al azar una aguja sobre un parqué. Se supone, para simplificar, que la longitud de la aguja es igual al ancho de una de las tablillas del parqué. El problema consiste en calcular la probabilidad de que la aguja caiga entre $2$ de las tablillas.

Una concretización de este experimento se encuentra en el ``Palacio de los Descubrimientos'' en París : las ``tablillas del parqué'' son metálicas, la aguja está agarrada por un electroimán y cae cuando un visitante oprime un interruptor. Si cae entre dos láminas de metal, se cierra un circuito y un contador se incrementa. Podemos consecuentemente calcular la frecuencia experimental. Esta se encuentra muy cerca de $2/\pi$ (millones de visitantes han hecho funcionar el interruptor ...). Por tanto tenemos una forma ``experimental'' de calcular $\pi$. Notemos que el experimento del Palacio de los Descubrimientos es ya una analogía, una idealización del problema inicial: es un modelo físico.

Modelo matemático.

Las hipótesis son las siguientes.

• La posición del punto medio de la aguja es un número real aleatorio entre 0 y $1/2$.
• El ángulo que forma la aguja con el eje vertical es un número real aleatorio entre 0 y $\pi/2$.
• La selección de estas dos cantidades son experimentos independientes.

Como consecuencia del modelo matemático, podemos demostrar que la probabilidad buscada vale $2/\pi$.

Cálculo por simulación :

Aproximamos la probabilidad buscada por una frecuencia empírica, calculada empleando el siguiente algoritmo.

$n_A\leftarrow 0$
Repetir $n$ veces
$X \longleftarrow$ Random$/2$
$\theta \longleftarrow$ Random $*\pi/2$
Si $\cos(\theta) \geq 1-2X$ Entonces $n_A \longleftarrow n_A+1$
finSi
finRepetir
frecuencia $\longleftarrow n_A/n$.

Veamos como ejemplo una frecuencia obtenida a partir de $n=10^6$ experimentos.

$$\frac{n_A}{n}=0.636438\;$$o sea$$\; \frac{2n}{n_A}=3.14249\;.$$

En ambos casos (cálculo matemático y simulación) no hemos hecho más que desarrollar las consecuencias de las hipótesis de definición del modelo. La simulación no tiene una mayor relación con la realidad física que el cálculo matemático. De hecho, estamos obligados a introducir el valor de $\pi$ en el algoritmo, para en fin de cuentas... deducir una estimación de este valor! El milagro es que las consecuencias calculadas a partir de las hipótesis de modelación, puedan tener una relación con una realidad física, o dicho en otras palabras, que el modelo matemático pueda ser validado al confrontarlo con el experimento.

Ejemplo 2 : Paradoja de Bertrand.
En un círculo de radio $1$, ¿cuál es la probabilidad para que una cuerda seleccionada al azar sea de longitud superior a $\sqrt{3}$? $\sqrt{3}$ es la longitud del lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo.

Modelo 1 En el disco se selecciona al azar un punto y se le asocia la cuerda de la cual él es el punto medio. El evento se realiza si el punto se encuentra en el disco concéntrico de radio $1/2$:

   probabilidad$$= 1/4 \;.$$

Modelo 2 Se selecciona el punto medio de la cuerda sacando al azar sus coordenadas polares: $\rho$ un número real al azar entre 0 y $1$, $\theta$ un número real al azar entre 0 y $2\pi$. El evento se realiza si $\rho \leq 1/2$ :

   probabilidad$$= 1/2 \;.$$

Modelo 3 Se seleccionan los dos extremos de la cuerda al azar en la circunferencia:

   probabilidad$$= 1/3 \;.$$

No debe ser chocante el hecho que hipótesis de modelación diferentes conduzcan a conclusiones diferentes. Se podría simular cada uno de los modelos propuestos y deducir las diferentes probabilidades anunciadas por el razonamiento. No podemos decir que un modelo es más ``verdadero'' que los otros mientras no exista un experimento físico para validar los resultados.

Ejemplo 3: Un truco con cartas.
Se asigna un valor a cada carta de un juego de $52$ cartas: los ases valen $1$, los ``$2$'' valen $2$, y así sucesivamente hasta los ``$10$''. Las sotas, reinas y reyes valen $10$. Las cartas se extienden en una fila después de haberlas barajado.

Se selecciona una carta entre las $9$ primeras y se avanza hacia la derecha tantas cartas como indica el valor de la carta seleccionada. Se llega así a una carta que indica nuevamente cuantas cartas hay que avanzar hacia la derecha en el próximo paso. Se repite el proceso hasta que no se puede avanzar más (por ejemplo la carta que se levanta es un $6$ y solamente quedan $4$ cartas a la derecha). La última carta que se levanta es la carta final. El mago se propone adivinar cual es la carta final, sin saber nada sobre el recorrido. Para esto él selecciona también una carta entre las 9 primeras e itera el mismo algoritmo. Él anuncia que vuestra carta final es la misma que la suya.

Si las cartas se barajaron al azar, ¿qué probabilidad tiene el mago de adivinar correctamente? Yo no conozco una respuesta matemática a esta pregunta. Si existe una, es seguramente complicada (el número de permutaciones de $52$ cartas, $52!$ tiene $68$ cifras).

Cuando un modelo es demasiado complicado para ser tratado matemáticamente se impone recurrir a la simulación. Presentamos una frecuencia experimental obtenida a partir de la simulación de $10^6$ permutaciones aleatorias de las $52$ cartas:

$$\frac{n_A}{n} = 0.715\;.$$

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