El conocer información sobre un experimento puede modificar la idea que uno se hace sobre la probabilidad de un evento. La probabilidad de esperar más de una hora para comprar un billete, es mayor si hay mucha gente delante de uno.
Punto de vista frecuentista: Si admitimos la Ley de los Grandes Números, la probabilidad debe ser vista como un límite de frecuencias experimentales. Empleando las notaciones del parrafo precedente, (resp. ) es la frecuencia experimental de (resp. ), y tenemos:
Debemos ver la probabilidad condicional como el límite, cuando el número de experimentos tiende a infinito, de la proporción de las veces en que ocurre entre las experiencias en que ocurre también. Una ley de probabilidad condicional es una ley de probabilidad. En particular si y son disjuntos (incompatibles) entonces:
La definición de las probabilidades condicionales se emplea frecuentemente en la forma:
Si es una familia numerable de eventos disjuntos dos a dos, cuya unión es el evento cierto (una partición de ), entonces:
Es la fórmula de las probabilidades totales. Pero también, para todo :
Es la fórmula de Bayes.
La idea intuitiva de independencia de dos eventos es la
siguiente: y son independientes si el hecho que se
produce o no, no modifica las posibilidades de . O aún: en un
gran número de experimentos, la proporción de las veces que ocurre
cuando ocurre, es aproximadamente la misma que cuando no
ocurre.
Ejemplo:
: ``La bolsa de Nueva York está en alza''.
: ``Llueve en París''.
Decir que y son independientes, es decir que la bolsa
de Nueva York está en alza tan frecuentemente cuando llueve en París que cuando no llueve.
En términos de frecuencias, escribiremos:
Dos experimentos aleatorios son independientes, si todo evento observable como resultado de uno es independiente de todo evento observable como resultado del otro.
Atención: No se debe confundir independientes con
incompatibles. Para dos eventos incompatibles tenemos
. Dos eventos incompatibles de probabilidades no
nulas nunca son independientes. Si uno de los dos ocurre, el otro
no puede suceder.
La definición de independencia se generaliza de la siguiente manera.
Los experimentos aleatorios
son
independientes si para toda -tupla de eventos
,
donde es observado como resultado de
, los
eventos
son independientes.
Una sucesión
es una sucesión de
experimentos aleatorios independientes si para todo los
experimentos
son independientes.
En las definiciones que hemos dado tenemos un círculo vicioso: Una
probabilidad es un límite de frecuencias calculadas a partir
de experimentos independientes. Dos eventos son
independientes si la probabilidad de su intersección es el
producto de las probabilidades.
Las nociones de probabilidad y de independencia son, por tanto, inseparables, y en cierto sentido imposibles de definir en la práctica. Lo más que podemos hacer es mostrar la coherencia entre sus definiciones. Dada una probabilidad para los eventos observables a partir de un experimento aleatorio, esta probabilidad es efectivamente el límite de las frecuencias experimentales, cuando se repite el mismo experimento en forma independiente. Esta es la Ley de los Grandes Números, la cual demostraremos mas adelante. La cuestión de la existencia de ``verdaderas'' sucesiones de experimentos independientes es mucho mas difícil. Será tratada, sin resolverla, en el próximo capítulo.