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Ley de los Grandes Números

Teorema 4.1   Sea $ X$ una variable aleatoria que tiene varianza. Sea $ (X_n)_{n\in \mathbb {N}}$ una sucesión de variables aleatorias independientes con la misma ley que $ X$. Entonces para todo $ \varepsilon >0$ :

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}
\mathbb {P}\left[\,\left\vert\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}
-\mathbb {E}[X]\right\vert>\varepsilon\,\right]
= 0\;.
$


Demostración : Se tiene:

$\displaystyle \mathbb {E}\left[\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\right]
=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\mathbb {E}[X_i]
=\mathbb {E}[X]\;,
$

y

$\displaystyle Var\left[\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\right]
=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nVar[X_i]
=\frac{1}{n}Var[X]
\;.
$

La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev da:

$\displaystyle \mathbb {P}\left[\,\left\vert\frac{X_1\dots +X_n}{n}-\mathbb {E}[...
...t>\varepsilon\,\right]
\leq \frac{Var[X]}{n\varepsilon^2}\longrightarrow 0\,\,$   cuando $\displaystyle n\longrightarrow \infty
\;.
$

$ \square$

La idea intuitiva es la siguiente: si medimos una misma cantidad aleatoria en una sucesión de experimentos independientes, entonces la media aritmética de los valores observados va a estabilizarse sobre la esperanza. Como caso particular volvemos a encontrar la Ley de los Grandes Números para la probabilidad de un evento. Para una sucesión de experimentos independientes denotemos por $ X_i$ la indicatriz del evento $ A$ en el $ i$-ésimo experimento. Las $ X_i$ siguen la ley de Bernoulli de parámetro $ \mathbb {P}[A]$ y $ (X_1+\cdots
+X_n)/n$ es la frecuencia experimental del evento $ A$.

El orden de magnitud del error cometido al aproximar $ \mathbb {E}[X]$ por la media $ (X_1+\cdots
+X_n)/n$ es $ 1/\sqrt{n}$ : en la última desigualdad de la demostración, tomemos $ \varepsilon=\displaystyle{\frac{c\sqrt{Var[X]}}{\sqrt{n}}}$. Se tiene:

$\displaystyle P\left[\,\left\vert\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}-\mathbb {E}[X]\right\vert
>\frac{c\sqrt{Var[X]}}{\sqrt{n}}\,\right]
<\frac{1}{c^2}
\;.
$


Esta estimación del error será precisada más tarde con la noción de intervalo de confianza, gracias al Teorema del Límite Centrado.



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