Se demuestra que la existencia de la varianza implica la existencia de la esperanza. Por el contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza. Es el caso, por ejemplo, si tiene por densidad:
El cálculo de las varianzas se simplifica, con frecuencia, gracias al siguiente resultado.
Demostración : Para pasar de la definición a la formula anterior, basta
desarrollar el cuadrado y emplear la linealidad de la integral.
La varianza mide cuanto se alejan del valor medio, , los valores que toma . La varianza no es homogénea: si es una longitud expresada en metros, está expresada en metros cuadrados. Esto se corrige introduciendo la desviación estándar que es la raíz cuadrada de la varianza. Las propiedades principales de la varianza son las siguientes.
Demostración : Las dos primeras propiedades son consecuencia directa de la
definición. Para la tercera, si e son independientes,
entonces
y
también lo son.
Tenemos por tanto:
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma se separan menos de según es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor.
Demostración : Demostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variables discretas es análogo. Pongamos . Se tiene:
Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la varianza.
La tabla que presentamos a continuación da las varianzas de las
leyes usuales, discretas y continuas.