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Función de distribución


La función de distribución de una variable aleatoria $ X$ con valores en $ \mathbb {R}$ (o más precisamente de su ley) es la función $ F_X$, de $ \mathbb {R}$ en $ [0,1]$, que a $ x\in \mathbb {R}$ asocia:

$\displaystyle F_X(x) = \mathbb {P}[X\leq x]\;.
$

Sus propiedades principales son las siguientes.

Proposición 3.7    
$ \bullet$
La función de distribución caracteriza a la ley. En particular,

$\displaystyle \forall a<b\in\mathbb {R}\,,\;\mathbb {P}[\,X\in]a,b]\,]
=F_X(b)-F_X(a)
\;.
$

$ \bullet$
$ F_X$ es une función creciente, continua por la derecha con un límite por la izquierda en todo punto.
$ \bullet$
$ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }F_X(x)
=0\;$y$ \; \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F_X(x)=1$ .


Leyes discretas.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta es una función en escalera. Si la variable aleatoria toma los valores $ x_k\,,\;k=1,2,\ldots$, que se supone están ordenados en orden creciente, entonces la función de distribución $ F_X$ toma los valores:

\begin{displaymath}
F_X(x) = \left\{
\begin{array}{lcl}
0&&\mbox{para } x < x...
...{para } x\in [x_k,x_{k+1}[\\
\vdots&&
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Gráfico 2: Diagrama de barras y función de distribución de la ley de la cantidad de números buenos para $ 4$ números marcados en la lotería Keno.


Aquí tenemos por ejemplo la ley y los diferentes valores de la función de distribución para la cantidad de números buenos con $ 4$ números marcados en la lotería Keno. (figura 2).

$\displaystyle \begin{array}{\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver...
...{P}[X\leq k] & 0.2512 & 0.6787 & 0.9325 & 0.9947 & 1
\\  \hline
\end{array}
$

Si $ X$ sigue la ley geométrica $ {\cal G}(p)$, su función de distribución $ F_X(x)$ vale 0 para $ x<1$. Para todo $ k\geq 1$, ella es constante en el intervalo $ [k,k+1[$ y toma el valor:

$\displaystyle p+p(1\!-\!p)+\cdots+p(1\!-\!p)^{k-1} = 1-(1\!-\!p)^k\;.
$


Aparte de las leyes geométricas, las funciones de distribución de las leyes discretas clásicas no tienen una expresión analítica simple.

Leyes continuas.

La función de distribución de una variable aleatoria continua es la primitiva de la densidad que se anula en $ -\infty$ :

$\displaystyle F_X(x) = \mathbb {P}[X\leq x] = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt\;.
$

Es una función continua en $ \mathbb {R}$. En todo punto $ x$ en el que $ f_X$ es continua, $ F_X$ es derivable y se cumple:

$\displaystyle F'_X(x) = f_X(x)\;.
$

Retornemos a los tres ejemplos básicos.

Ley uniforme $ {\cal U}(a,b)$

$\displaystyle F_X(x)
=\int_{-\infty }^x\frac{1}{b-a}\mathbb {I}_{[a,b]}(t)dt
...
...si } x\in [a,b]
\\  [3mm]
1 & \mbox{si } x\geq b
\;.
\end{array}
\right.
$


Ley exponencial $ {\cal E}(\lambda )$

$\displaystyle F_X(x)
=\int_{-\infty }^x\lambda e^{-\lambda t}\mathbb {I}_{\mat...
...leq 0
\\
1-e^{-\lambda x} & \mbox{si } x\geq 0
\;.
\end{array}
\right.
$


Ley normal $ {\cal N}(\mu,\sigma^2)$

$\displaystyle F_X(x)
=\int_{-\infty }^x\frac{1}{\sigma\sqrt {2\pi }}
e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \,dt
\;.
$


No existe una expresión analítica para la función de distribución de las leyes normales. En los libros se pueden encontrar tablas de valores aproximados. La mayor parte de los lenguajes de programación especializados tienen un código de integración numérico que calcula $ F_X$ para las leyes normales así como para todas las leyes usuales.

Gráfico 3: Densidad y función de distribución de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$.


La función de distribución es la herramienta por excelencia de los cálculos con las leyes. Un caso frecuente en las aplicaciones es aquel en el que conocemos la ley de $ X$ y queremos determinar la ley de $ Y=\phi (X)$. Presentamos algunos ejemplos típicos.

$ \bullet$
En el caso en que $ \phi$ es derivable, estrictamente creciente,

$\displaystyle F_Y(y)
=\mathbb {P}[Y\leq y]
=\mathbb {P}[\phi (X)\leq y]
=\mathbb {P}[X\leq \phi^{-1}(y)]
=F_X(\phi^{-1}(y))
\;.
$

La densidad correspondiente es:

$\displaystyle f_Y(y)
=\frac{d}{dy}F_Y(y)
=\frac{1}{\phi '(\phi^{-1}(y))}f_X(\phi^{-1}(y))
\;.
$

$ \bullet$
Si $ X$ sigue la ley $ {\cal N}(0,1)$ e $ Y=\sigma
X+\mu$, donde $ \mu\in \mathbb {R}$, $ \sigma\in \mathbb {R}^+$.

$\displaystyle F_Y(y)
=\mathbb {P}[\sigma X+\mu\leq y]
=P\left[X\leq \frac{y-\mu}{\sigma}\right]
=F_X\left(\frac{y-\mu}{\sigma }\right)\;.
$

La densidad correspondiente es:

$\displaystyle f_Y(y)
=\frac{1}{\sigma }f_X\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)
=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\;,
$

y por tanto $ Y$ sigue la ley $ {\cal N}(\mu,\sigma^2)$. Esto permite reducir los cálculos de probabilidad sobre una ley normal cualquiera, a cálculos sobre la ley $ {\cal N}(0,1)$.
$ \bullet$
Si $ X$ sigue la ley $ {\cal N}(0,1)$ e $ Y=X^2$ :

$\displaystyle \forall y\leq 0\,,\;
F_Y(y)
=\mathbb {P}[X^2<Y]
=0 \;.
$

La densidad es nula en $ \mathbb {R}^-$. Para todo $ y>0$ :

$\displaystyle F_Y(y)
=\mathbb {P}[-\sqrt y\leq X\leq +\sqrt y]
=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)\;.
$

La densidad correspondiente vale:
$\displaystyle f_Y(y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{ 1}{2\sqrt y}}f_X(\sqrt y)
+\displaystyle{\frac{ 1}{2\sqrt y}}f_X(-\sqrt y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{ 1}{\sqrt y}}
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-\frac{1}{2}y}$     si $\displaystyle y>0$    y $\displaystyle 0$    si no.  

La ley de densidad:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt y}\frac{1}{\sqrt {2\pi }}
e^{-\frac{1}{2}y}\mathbb {I}_{\mathbb {R}^{+*}}(y)\;,
$

es la ley de chi-cuadrado con $ 1$ grado de libertad $ {\cal
X}^2(1)$. Es también la ley gamma $ {\cal
G}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.


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