En este caso la ley de la variable aleatoria es la ley de probabilidad sobre el conjunto de los valores posibles de que asocia la probabilidad al singleton .
Determinar la ley de una variable aleatoria discreta es:
Punto de vista frecuentista.
Recordemos que el único sentido práctico que le podemos dar a la idea de probabilidad es el de un límite de frecuencias experimentales. Este es también el sentido que hay que dar a la noción de ley discreta. Repetimos veces, en forma independiente, el experimento aleatorio del cual como resultado medimos . Se obtiene así una -tupla de variables aleatorias independientes de misma ley que (esto se llama una muestra). A partir de esta -tupla podemos calcular las frecuencias experimentales de los eventos ``'' :
Según la
Ley de los Grandes Números, esta frecuencia debe
converger a
. Para todo las frecuencias
experimentales
definen una ley de
probabilidad discreta sobre el conjunto de los .
Usualmente se representa a las leyes discretas por
diagramas
de barras : Se dibuja encima de la abscisa un segmento
vertical de altura igual a
.
Las leyes discretas más comunes son
las siguientes.
La ley uniforme definida
sobre un conjunto finito es la ley de ``sorteos al azar'' en este
conjunto o equiprobabilidad. Ella asigna la misma
probabilidad a todos los elementos del conjunto, si el
cardinal del conjunto es .
Las variables aleatorias discretas más simples son las indicatrices de eventos. Si es un evento de probabilidad , la variable aleatoria toma el valor si se realiza y 0 si no. Su ley es la ley de Bernoulli de parámetro .
Se repite el mismo experimento veces en forma independiente y se cuenta el número de veces que se produce el evento . Se considerará la repetición de los experimentos como un nuevo experimento global. Como solamente nos interesa el evento , bastará guardar de la experiencia global una -tupla booleana del tipo:
que es el número de maneras de seleccionar índices entre . De donde:
Para recordar:
El número de ocurrencias de un
mismo evento en el curso de experimentos independientes sigue
una ley binomial.
Simulación:
A la salida
del algoritmo que mostramos a continuación, sigue la ley
binomial
. Es el caso típico en el que encontramos una
ley binomial, pero no es el método mas eficaz de simulación de la
misma.
Repetir veces
Si ( Random) entonces
finSi
finRepetir.
Observación:
Es un buen hábito el comprobar que la
suma de las probabilidades calculadas vale . En este caso:
, por la fórmula del binomio de Newton (de
ahíel nombre de binomial).
El problema aquí es observar una
sucesión de repeticiones independientes de un mismo experimento.
Nos interesa el momento en que se produce el evento por
primera vez. Se asume que la probabilidad de es
estrictamente positiva.
Denotemos por el número de orden del experimento en el cual
ocurre por primera vez. Es una variable aleatoria que depende
del experimento:
Para recordar:
El número de experimentos
independientes necesarios hasta la primera ocurrencia de un evento
sigue una ley geométrica.
Simulación:
A la
salida del algoritmo que mostramos a continuación, sigue la
ley geométrica
. Es el caso típico en el que encontramos
una ley geométrica, pero no es el método mas eficaz de simulación
de la misma.
Repetir
Hasta que (
Random).
Observación:
.
La consecuencia de esta observación es la siguiente: en el
transcurso de una serie de experimentos independientes, todo
evento acabará sucediendo, si su probabilidad es estrictamente
positiva. Así una sucesión aleatoria de 0 y debe contener
necesariamente una cadena de ceros seguidos. Con el mismo
razonamiento, si un mono golpea al azar las teclas de una máquina de
escribir, terminará, necesariamente, escribiendo ``Don Quijote''
sin faltas, desde la primera mayúscula hasta el último
punto.
Para comprender esta paradoja, calculemos la probabilidad de que un evento de probabilidad se produzca a lo sumo en el -ésimo experimento.
Aún si todas las partículas del universo fueran monos tecleando a
razón de carácteres por segundo, se necesitaría mucho más
tiempo del transcurrido desde el inicio del universo para tener
una probabilidad no despreciable de ver a uno de ellos teclear Don
Quijote.
La ley geométrica y la ley binomial
aparecen con frecuencia en el análisis de algoritmos de
simulación. A continuación presentamos el ejemplo del cálculo de
una probabilidad condicional. La programación directa de la
definición intuitiva (proporción de veces en que ocurre entre
aquellas en que también ocurre) conduciría al siguiente
algoritmo.
Repetir veces
experimento
Si ocurre entonces
Si ocurre entonces
finSi
finSi
finRepetir
Nada impide que sea cero al final de los experimentos
(aún si es poco probable). Es preferible fijar y escribir:
Repetir veces
Repetir
experimento
Hasta que ocurre
Si ocurre entonces
finSi
finRepetir
Ejecutar este algoritmo se convierte en calcular la
frecuencia experimental de , en el resultado de
repeticiones independientes de un experimento global. Este
experimento global consiste en repetir independientemente un mismo
experimento hasta que ocurre por primera vez . La ``duración''
del experimento global es un número entero aleatorio. El sigue una
ley geométrica de parámetro
. Se puede demostrar que la
variable
sigue una ley binomial de parámetros
y
.
Ejemplo:
Repetir veces
Repetir
Random
(* lanzamiento de un dado *)
Hasta que ( es par)
(* es el evento `` es par'' *)
Si entonces
(* es el evento ``'' *)
finSi
finRepetir
A la salida de este algoritmo, contiene un número cercano
a si es grande. El número de
repeticiones del experimento cada vez que se ejecuta un lazo,
sigue la ley geométrica
.
Hay otras
leyes discretas clásicas que se emplean con frecuencia. Se trata
de las leyes de Poisson, hipergeométricas y
binomiales negativas.
Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de objetos con una característica, relativamente rara, dentro de un conjunto grande de objetos: átomos de un isótopo, moléculas de un elemento químico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen especial... Con frecuencia se emplea una ley de Poisson como modelo para estos conteos. Una variable aleatorio sigue una ley de Poisson de parámetro si ella toma sus valores en y si para todo :
La ley hipergeométrica es la ley de ``captura sin reposición''. En una población de tamaño , se extrae al azar una muestra (subconjunto) de tamaño . Entre los individuos de la población hay que están ``marcados'' (poseen una cierta característica). El número de individuos marcados entre los individuos seleccionados, sigue la ley hipergeométrica de parámetros , y . La variable aleatoria toma sus valores en el conjunto , y para todo :
Esta ley se emplea frecuentemente en los conteos en biología. El modelo de base que la define puede escribirse todavía en términos de indicatrices de eventos independientes, como en las leyes binomiales y geométricas. En el transcurso de una serie de experimentos aleatorios independientes, observemos un evento de probabilidad . Denotemos por el número de observaciones de antes de la -ésima observación de . Entonces sigue la ley binomial negativa de parámetros y , denotada por . El conjunto de los valores que toma es y para todo :
Repetir veces
Mientras (Random )
finMientras
finRepetir.