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Ley de una variable aleatoria

Una variable aleatoria es un número que depende del resultado de un experimento aleatorio. Lo que está en juego es la localización de este número: determinar cuales son las posibilidades de caer en tal o tal parte de $\mathbb {R}$. Esta localización conduce a asociar a toda variable aleatoria una ley de probabilidad sobre $\mathbb {R}$.

Definición 3.1   Se llama ley de la variable aleatoria $X$ a la ley de probabilidad $P_X$ sobre $\mathbb {R}$, definida para todo conjunto boreliano $A$ de $\mathbb {R}$ por:

$$P_X[A] = \mathbb {P}[X\in A]\;.$$

En la práctica nos olvidamos de la codificación inicial en eventos y la ley $\mathbb {P}$ sobre $\Omega$, para quedarnos finalmente con la ley $P_X$ sobre $\mathbb {R}$. Si solamente observamos una variable aleatoria $X$, podremos considerar que los eventos son los valores reales que ella puede tomar y dotar a este conjunto de la ley de $X$.

Por razones de modelado y también por comodidad matemática, consideramos dos tipos de variables aleatorias: las variables aleatorias discretas, que solamente toman un número finito o numerable de valores (en general valores enteros) y las variables aleatorias continuas que pueden tomar, a priori, cualquier valor en un intervalo de número reales. Esta diferenciación corresponde, por supuesto, a la que ya se consideró para las leyes de probabilidad

En general, se repetirá un mismo experimento, donde se observarán algunas variables aleatorias. La idea de independencia entre variables aleatorias juega un papel importante en todo lo que veremos.

Definición 3.2   Las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ se llaman independientes si para toda $n$-tupla $(A_1,\ldots,A_n)$ de conjuntos borelianos en $\mathbb {R}$, los eventos
`` $X_1\in A_1$'', ...,`` $X_n \in A_n$'' son independientes. De una sucesión $(X_n)$ de variables aleatorias se dice que son independientes si para todo $n$ las variables aleatorias $(X_1,\dots,X_n)$ son independientes.

La independencia es, por tanto, una propiedad de los eventos `` $X_i\in A_i$''. De aquí se deduce que si $X$ e $Y$ son independientes entonces toda función de $X$ es independiente de toda función de $Y$.
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