Université René Descartes - Paris 5
UFR de Mathématiques et Informatique

Mathématiques et Calcul : partiel 3, 19 avril 2005

L1 : Licence sciences et technologies,
mention mathématiques, informatique et applications

Nombre de pages de l'énoncé : 4. Durée 1 heure 15.

NB : L'examen se compose de 10 questions indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie les lettres des 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont données rapporte 2 points. Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

SUJET 1

Question 1  

A : (FAUX) Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum u_n^2$ converge.

B : (VRAI) Si la série $\sum u_n$ est absolument convergente, alors la série $\sum u_n^2$ converge.

C : (FAUX) Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum n\,u_n$ converge.

D : (VRAI) Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum u_n/n$ converge.

E : (FAUX) Si la suite $(u_n)$ tend vers $0$ alors la série $\sum u_n$ converge.

Question 2  

A : (FAUX) La série $${\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^4+2}}}$$ converge.

B : (FAUX) La série $${\sum \frac{n+1}{\ln(n)\sqrt{n^4+2}}}$$ converge.

C : (VRAI) La série $${\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^8+2}}}$$ converge.

D : (VRAI) La série $${\sum \frac{n^2+1}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2}}}$$ converge.

E : (FAUX) La série $${\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^3+2}}}$$ converge.

Question 3  

A : (FAUX) Si $\vert r\vert\leq 1$ alors $\sum n\, r^n$ converge.

B : (VRAI) Si $\vert r\vert< 1$ alors $\sum n\, r^n$ converge.

C : (FAUX) Si $\vert r\vert< 1$ alors $\sum e^n\, r^n$ converge.

D : (VRAI) Si $\vert r\vert\leq 1$ alors $\sum (r/2)^n$ converge.

E : (FAUX) Si $\vert r\vert\leq 1$ alors $\sum (2r)^n$ converge.

Question 4  

A : (VRAI) La série $${\sum\frac{(n!)^2}{(2n)!}}$$ converge.

B : (FAUX) La série $${\sum\frac{2}{n+1}}$$ converge.

C : (FAUX) La série $${\sum\frac{n!}{2^n}}$$ converge.

D : (FAUX) La série $${\sum\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$$ converge.

E : (VRAI) La série $${\sum\frac{2^n}{n!}}$$ converge.

Question 5  

A : (FAUX) La série $${\sum\frac{(-1)^n}{n}}$$ est absolument convergente.

B : (VRAI) La série $${\sum\frac{(-1)^n}{n}}$$ converge.

C : (FAUX) La série $${\sum\frac{1+(-1)^n}{n}}$$ converge.

D : (VRAI) La série $${\sum\frac{(-1)^n}{n^2}}$$ est absolument convergente.

E : (FAUX) La série $${\sum\frac{(-1)^n}{n\ln(n)}}$$ est absolument convergente.

Question 6  

A : (FAUX) $${\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=1}$$

B : (VRAI) $${\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2}$$

C : (FAUX) $${\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=1}$$

D : (FAUX) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=1}$$

E : (VRAI) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}}$$

Question 7   Dans cette question on suppose que les $a_n$ sont strictement positifs.

A : (FAUX) Si $R$ est le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$, alors la série $\sum a_n\,R^n$ est convergente.

B : (FAUX) Si $${\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_ {n+1}}{a_n}=2}$$ alors le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$ est $2$.

C : (VRAI) Si $R$ est le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$, alors pour tout $z$ tel que $\vert z\vert<R$, la série $\sum a_n\,z^n$ est absolument convergente.

D : (FAUX) Si $\sum a_n$ converge alors le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$ est égal à $1$.

E : (VRAI) Si $${\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_ {n+1}}{a_n}=2}$$ alors le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$ est $${\frac{1}{2}}$$.

Question 8  

A : (FAUX) Le rayon de convergence de la série entière $\sum (2^n+3^n)\,z^n$ est $${\frac{1}{2}}$$.

B : (VRAI) Le rayon de convergence de la série entière $\sum (2^n+3^n)\,z^n$ est $${\frac{1}{3}}$$.

C : (VRAI) Le rayon de convergence de la série entière $${\sum \frac{2^n+3^n}{5^n}\,z^n}$$ est $${\frac{5}{3}}$$.

D : (FAUX) Le rayon de convergence de la série entière $\sum n^n\,z^n$ est strictement positif.

E : (FAUX) Le rayon de convergence de la série entière $\sum z^n$ est $+\infty$.

Question 9  

A : (VRAI) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n-1}{n!}\,z^n = (z-1)\exp(z)+1}$$

B : (FAUX) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n-1}{n!}\,z^n = (z-1)\exp(z)-z}$$

C : (FAUX) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}\,z^n = (z^2+z)\exp(z)-1}$$

D : (VRAI) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}\,z^n = (z^2+z)\exp(z)}$$

E : (FAUX) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}\,z^n = \exp(z)-1}$$

Question 10   Dans cette question on suppose que $z$ est tel que les séries écrites convergent.

A : (VRAI) $${\frac{1}{1-2z}=1+2z+4z^2+\cdots+2^nz^n+\cdots = \sum_{n=0}^{+\infty}2^n\,z^n}$$

B : (FAUX) $${\frac{1}{2-z}=2+2z+2z^2+\cdots+2z^n+\cdots = \sum_{n=0}^{+\infty}2\,z^n}$$

C : (FAUX) $${\frac{1}{2-z}=1+\frac{1}{2}z+\frac{1}{4}z^2+\cdots+\frac{1}{2^n}z^n+\cdots = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\,z^n}$$

D : (VRAI) $${\frac{2}{2-z}=1+\frac{1}{2}z+\frac{1}{4}z^2+\cdots+\frac{1}{2^n}z^n+\cdots = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\,z^n}$$

E : (FAUX) $${\frac{2}{2-z^2}=1+\frac{1}{4}z^2+\frac{1}{2^4}z^4+\cdots+\frac{1}{2^{2n}}z^{2n}+\cdots = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n}}\,z^{2n}}$$