Université René Descartes - Paris 5
UFR de Mathématiques et Informatique

Mathématiques et Calcul : partiel 2, 29 mars 2005

L1 : Licence sciences et technologies,
mention mathématiques, informatique et applications

Nombre de pages de l'énoncé : 4. Durée 1 heure.

NB : L'examen se compose de 10 questions indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie les lettres des 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont données rapporte 2 points. Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

SUJET 1

Question 1  

A : FAUX. Il existe des primitives de $\sin(\frac{1}{x})$ définies sur l'intervalle $[-1,1]$.

B : VRAI. Il existe des primitives de $\sin(\sqrt{\vert x\vert})$ définies sur l'intervalle $[-1,1]$.

C : FAUX. Il existe des primitives de $${\frac{1}{\sin (x)}}$$ définies sur l'intervalle $[-1,1]$.

D : VRAI. L'intégrale de $x\sin^2(x)$ sur $[-\pi,\pi]$ est nulle.

E : FAUX. L'intégrale de $x\sin(x)$ sur $[-\pi,\pi]$ est nulle.

Question 2   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $f(t)=e^{-t}\arctan(t).$

A : FAUX. L'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty [$ diverge.

B : VRAI. La fonction $f$ admet une primitive définie sur $\mathbb {R}$.

C : FAUX. La fonction $t\mapsto e^{-t}/(1+t^2)$ est une primitive de $f$.

D : VRAI. L'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty [$ est majorée par $\pi/2$.

E : FAUX. Une intégration par parties donne $${\int_0^1 f(t)dt=\Big[f(t)\Big]_0^1+\int_0^1\frac{e^{-t}}{1+t^2}\,dt}$$.

Question 3   On définit la fonction $f$ qui à $t\in ]0,\pi[$, associe $${f(t)=\frac{\cos(t)}{\sqrt{\sin(t)}}}$$ .

A : VRAI. L'intégrale de $f$ sur $]0,\pi[$ converge.

B : FAUX. Pour tout $x\in ]0,\pi [$, $${\int_0^x f(t)\,dt=\int_{\pi-x}^{\pi}f(u)\,du}$$.

C : FAUX. La fonction $t\mapsto \sqrt{\sin(t)}$ est une primitive de $f(t)$ sur $]0,\pi[$.

D : FAUX. L'intégrale de $f$ sur $]0,\pi/2]$ diverge.

E : VRAI. L'intégrale de $f$ sur $[\pi/4,\pi/2]$ est strictement positive.

Question 4   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $${f(t)=\frac{1}{(t^2+4)^2}}$$. On pose $${I=\int_0^2f(t)\,dt}$$.

A : FAUX. $${I=\int_0^1\frac{1}{(1+u^2)^2}\,du}$$.

B : VRAI. $I=\displaystyle{\frac{1}{8}\left(\int_0^2\frac{1}{t^2+4}\,dt+\left[\frac{t}{t^2+4}\right]_0^2 \right)}$ .

C : FAUX. $I> \frac{2}{4^2}$ .

D : VRAI. L'intégrale de $f$ sur $\mathbb {R}$ converge.

E : FAUX. L'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty [$ diverge.

Question 5   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $${f(t)=\frac{t}{t^2+1}}$$.

A : FAUX. $${\int_0^2f(t)\,dt=\ln(5)}$$.

B : FAUX. $${\int_0^2 f(t)\,dt > \int_0^2 t\,dt}$$.

C : VRAI. Soit $g$ une fonction définie et continue sur $[0,2]$ telle que $${\int_0^2\vert g(t)\vert f(t)\,dt=0}$$. Alors pour tout $t\in [0,2]$, $g(t)=0$.

D : FAUX. $${\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} }$$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur l'intervalle $[0,2]$.

E : VRAI. $${\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n^2+k^2}}$$ tend vers $${\int_0^2f(t)\,dt}$$ quand $n$ tend vers l'infini.

Question 6   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $${f(t)=\frac{t^2+1}{(t+3)(t^2-4)}}$$.

A : VRAI. La décomposition en éléments simples de $f$ a la forme suivante:
$${f(t)=\frac{A}{t+3}+\frac{B}{t+2}+\frac{C}{t-2}}$$ .

B : FAUX. Une primitive de $f(t)$ est $\ln(\vert(t+3)(t+2)^5(2-t)\vert).$

C : FAUX. $f$ a une primitive définie sur $\mathbb {R}$.

D : VRAI. $${\int_0^1 f(t)\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\cos^2(u))\sin(u)}{(3+\cos( u))(\cos^2( u)-4)}\,du}$$.

E : FAUX. $${\int_0^1 f(t)\,dt= \int_0^{+\infty}\frac{e^{-3u}+e^{-u}}{(e^{-u}+3)(4-e^{-2u})}\,du}$$.

Question 7   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $f(t)=\vert t\vert$. Pour tout $x\in \mathbb {R}$ on pose $g(x)=\displaystyle{\int_{-x}^{x}f(t)\,dt}$.

A : FAUX. La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb {R}$.

B : FAUX. La fonction $g$ n'est pas dérivable sur $\mathbb {R}$.

C : VRAI. $g(x)=2\displaystyle{\int_0^xf(t)\,dt}$.

D : VRAI. $g(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

E : FAUX. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $g(x)=2F(x)$.

Question 8   On définit la fonction $f$ qui à $t\in [1,2]$, associe $f(t)=\sqrt{(t-1)(2-t)}$. On pose: $I=\displaystyle{\int_1^2 f(t)dt}$.

A : FAUX. Le changement de variable $t\mapsto u=(t-1)(2-t)$ est bijectif sur $[1,2]$.

B : VRAI. Le changement de variable $t\mapsto u=3-t$ donne $${\int_1^2 tf(t)\,dt=3I - \int_1^2 tf(t)\,dt}$$.

C : FAUX. Le changement de variable $t\mapsto v=2t-3$ donne $${I=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\sqrt{1-v^2}\,dv}$$ .

D : FAUX. $f$ admet une primitive définie sur $\mathbb {R}$.

E : VRAI. $${I\leq \sup_{x\in[1,2]} f(x)}$$ .

Question 9   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $f(t)=t^2e^{-t^2/2}$.

A : FAUX. $f$ n'admet pas de primitive définie sur $\mathbb {R}$.

B : FAUX. L'intégrale de $f$ sur $\mathbb {R}$ diverge.

C : FAUX. Le changement de variable $t\mapsto u=t^2/2$ donne $${\int_0^xf(t)\,dt=\int_0^{\sqrt{2x}}e^{-u}\,du}$$.

D : VRAI. Une intégration par parties donne $${\int_0^xf(t)\,dt=-xe^{-x^2/2}+\int_0^xe^{-t^2/2}\,dt}$$.

E : VRAI. $${\int_0^x \frac{f(t)}{t}\,dt=1-e^{-x^2/2}}$$.

Question 10  

A : VRAI. $${\int_0^1 \ln(t)\,dt}$$ converge.

B : FAUX. $${\int_3^{+\infty }\frac{1}{t\sqrt{\ln(t)}}\,dt}$$ converge.

C : VRAI. $${\int_0^{+\infty }\sqrt{t^2+2t}\,\sin\left(\frac{2}{(t+1)^2}\right)\,dt}$$ diverge.

D : FAUX. $${\int_1^{+\infty }\frac{\sin(t)}{t}\,dt}$$ diverge.

E : FAUX. $${\int_1^{+\infty }e^{-t}t^{3}\ln(t)\sin(t)\,dt}$$ diverge.