Paris 5 / UFR Math-Info Année 2004-2005


Licence MIA Première année U.E. Mathématiques et calcul


QCM 1

Partiel 1 : $1^{er}$ Mars 2005

NB : L'examen se compose de 10 questions indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie les lettres des 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont données rapporte 2 points. Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

Question 1   Question de cours.

A : FAUX Les valeurs propres du produit de deux matrices sont les produits des valeurs propres des deux matrices.

B : VRAI Si un vecteur est vecteur propre de deux matrices, alors il est un vecteur propre de leur somme.

C : FAUX Si une matrice a toutes ses valeurs propres réelles, alors elle est diagonalisable.

D : FAUX Toute matrice admet au moins deux valeurs propres.

E : VRAI Le produit des valeurs propres d'une matrice est égal à son déterminant.

Question 2   Question de cours.

A : VRAI Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes forment une famille libre.

B : FAUX Si $AX = \lambda X$ alors $X$ est vecteur propre de $A$.

C : VRAI $A$ et ${^tA}$ ont même polynôme caractéristique.

D : FAUX $A$ et ${^tA}$ ont mêmes sous-espaces propres.

E : FAUX Si $AB=BA$ alors $A$ et $B$ ont mêmes valeurs propres.

Question 3   Soit $A$ une matrice. On suppose que son polynôme caractéristique est
$P_A(\lambda) = {(\lambda-1)}^{2}(2-\lambda)$.

A : VRAI $A$ est nécessairement de taille $3\times 3$.

B : FAUX $A$ est diagonalisable car $P_A$ est scindé.

C : VRAI Les seules valeurs propres de $A$ sont $1$ et $2$.

D : FAUX La dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $1$ est égale à $2$.

E : FAUX $A$ est diagonalisable car elle admet $2$ valeurs propres distinctes.

Question 4   Soit $A$ une matrice et $\lambda$ une de ses valeurs propres.

A : FAUX La dimension du sous-espace propre associé à $\lambda$ est $1$ si et seulement si la multiplicité de $\lambda$ est $1$.

B : FAUX La matrice des cofacteurs de $A-\lambda I$ ne peut pas être nulle.

C : FAUX $(A-\lambda I)V=0$ si et seulement si $V=0$.

D : VRAI $(\lambda^2-1)$ est valeur propre de $(A-I)(A+I)$.

E : VRAI Deux lignes quelconques de la matrice des cofacteurs de $A-\lambda I$ sont soit nulles, soit proportionnelles entre elles.

Question 5   On considère la matrice $A$ suivante : $A = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 4 \\ 3 & -4 & 12 \\ 1 & -2 & 5 \\ \end{array} \right )$

A : VRAI La matrice $A$ admet trois valeurs propres distinctes.

B : FAUX La matrice $A$ admet $-1$ pour valeur propre.

C : FAUX Le vecteur $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right )$ est un vecteur propre de $A$.

D : VRAI Le vecteur $\left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right )$ est un vecteur propre de $A$.

E : FAUX $A$ est semblable à $\left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right )$.

Question 6   Soit $A$ la matrice définie par $A = \left( \begin{array}{ccc} -6 & 5 & 3 \\ -8 & 7 & 4 \\ -2 & 1 & 1\\ \end{array} \right )$

A : FAUX Les colonnes de A sont linéairement indépendantes.

B : FAUX La matrice $A$ admet trois valeurs propres distinctes.

C : VRAI Le vecteur $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array} \right )$ est un vecteur propre.

D : VRAI La matrice $A$ n'est pas diagonalisable.

E : FAUX La matrice $A$ est diagonalisable.

Question 7   On considère la matrice suivante $A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right )$

A : FAUX $5$ est une valeur propre de $A$.

B : VRAI Le vecteur $\left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right )$ est un vecteur propre de $A$.

C : FAUX Le vecteur $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ \end{array} \right )$ est un vecteur propre de $A$.

D : FAUX La matrice $A$ est semblable à la matrice $% \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{array} \right )$

E : VRAI La matrice $A^n = \left( \begin{array}{ccc} 2^{n+1} -3^n & 2^n-3^n \\ -2^{n+1} + 2\cdot 3^n & -2^n + 2\cdot 3^n \\ \end{array} \right )$

Question 8   On considère les deux suites $(u_{n})_{n \in \mathbb {N}}$, $(v_{n})_{n \in \mathbb {N}}$ définies par

$$(1) \left \{ \begin{array}{l} u_{n+1} = u_{n} - v_{n} \qquad \te... ...= 2u_{n} +4v_{n} \qquad \verb*+ + \qquad v_{0} = 1 \\ \end{array} \right.$$

A : VRAI Le système (1) peut s'écrire sous la forme $U_{n+1} = A U_{n}$ où $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 4\\ \end{array} \right )$ et $U_{n} = \left( \begin{array}{c} u_{n} \\ v_{n}\\ \end{array} \right )$

B : FAUX La matrice associée au système (1) n'est pas diagonalisable

C : FAUX La matrice associée au système (1) est semblable à $\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{array} \right )$

D : FAUX Le système (1) n'admet pas de solution.

E : VRAI Pour tout $n \in \mathbb {N}$, $u_{n} = 5 \cdot 2^{n} - 3^{n+1}$ et $v_{n} = -5 \cdot 2^n + 2 \cdot 3^{n+1}$.

Question 9   On considère la matrice suivante : $A = \left( \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ \end{array} \right )$

A : FAUX Les lignes de $A$ sont des vecteurs indépendants.

B : VRAI La matrice $A$ admet trois valeurs propres distinctes.

C : FAUX La matrice $A$ admet deux valeurs propres réelles.

D : FAUX Le vecteur $\left( \begin{array}{c} i \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right )$ est un vecteur propre.

E : VRAI La matrice $A$ est semblable à $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \beta \\ \end{array} \right )$ où $\left \{ \begin{array}{l} \alpha =\displaystyle \frac{-3+i\sqrt{3}}{2} \\ \beta = \displaystyle \frac{-3-i\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.$

Question 10   Soit $A$ la matrice définie par $A= \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -5 & -2 \\ \end{array} \right )$

A : FAUX Le produit des valeurs propres de $A$ est $i$.

B : FAUX $A$ admet une valeur propre réelle.

C : VRAI Le vecteur $\left( \begin{array}{c} 1 \\ i-2 \\ \end{array} \right )$ est vecteur propre de $A$.

D : VRAI Le vecteur $\left( \begin{array}{c} 1 \\ \frac{-5}{i+2} \\ \end{array} \right )$ est vecteur propre de $A$.

E : FAUX Le carré de la matrice $A$ est semblable à $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right )$.