Chapitre : Fonctions de plusieurs variables
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QCM corrigé

Exercice 18.1   On considère l'application $f$ de $\mathbb {R}^3$ dans $\mathbb {R}$ qui à $(x,y,z)$ associe
$f(x,y,z)=\sin(xyz)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies ?

$\checkedbox$ $f$ est continûment différentiable sur $\mathbb {R}^3$.

$\square$ La différentielle de $f$ est une application linéaire de $\mathbb {R}^3$ dans $\mathbb {R}^3$.

$\square$ Le gradient de $f$ est une application linéaire de $\mathbb {R}^3$ dans $\mathbb {R}^3$.

$\checkedbox$ Le gradient de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ est nul.

$\checkedbox$ Le gradient de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$ est nul.

$\square$ La matrice jacobienne de $f$ au point $(x,y,z)$ est une matrice réelle $3\times 3$.

$\checkedbox$ La matrice hessienne de $f$ au point $(x,y,z)$ est une matrice réelle $3\times 3$.

$\checkedbox$ La matrice hessienne de $f$ au point $(0,0,0)$ est la matrice nulle.

$\square$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ est la matrice nulle.

$\square$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ a toutes ses valeurs propres strictement négatives.

$\checkedbox$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ a pour valeurs propres 0, $\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$.

$\square$ Le point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ est un maximum local de $f$.

$\checkedbox$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$ a tous ses coefficients strictement négatifs.

$\checkedbox$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$ a pour valeurs propres 0 et $-\frac{\pi^2}{2}-1$.

$\checkedbox$ $f$ atteint son maximum au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$.

Exercice 18.2   Soit $f$ une application deux fois continûment différentiable de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}$ et $(a,b)$ un point de $\mathbb {R}^2$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies ?

$\square$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, alors $f$ atteint son maximum en $(a,b)$.

$\square$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, et si la matrice hessienne de $f$ en $(a,b)$ a deux valeurs propres strictement négatives, alors $f$ atteint son maximum en $(a,b)$.

$\checkedbox$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, et si sa matrice hessienne a deux valeurs propres strictement négatives, alors $(a,b)$ est un maximum local pour $f$.

$\square$ Si la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ a deux valeurs propres strictement positives alors $(a,b)$ est un minimum local pour $f$.

$\checkedbox$ Si la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ a un déterminant strictement négatif, alors $(a,b)$ n'est ni un minimum local, ni un maximum local pour $f$.

$\square$ Si le gradient et la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ sont nuls, alors $(a,b)$ ne peut pas être un maximum local pour $f$.

$\square$ Si le déterminant de la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ est nul, alors $(a,b)$ ne peut pas être un maximum local pour $f$.

$\checkedbox$ Si le déterminant de la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ est strictement positif et sa trace négative, alors $(a,b)$ est un maximum local pour $f$.

Exercice 18.3   Soient $f$ et $g$ deux applications continûment différentiables de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}$, $A=\{(x,y)\,,\;g(x,y)=0\}$ et $(a,b)$ un point de $A$. On note $\nabla_f$ et $\nabla_g$ les gradients de $f$ et $g$ au point $(a,b)$, et on suppose que $\nabla_g$ est non nul. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies ?

$\square$ Si $\nabla_f=2\nabla_g$ alors $f$ atteint son maximum au point $(a,b)$.

$\checkedbox$ Si $f$ atteint son maximum sur $A$ au point $(a,b)$, alors $\nabla_f$ et $\nabla_g$ sont proportionnels.

$\square$ Si $f$ atteint son maximum sur $\mathbb {R}^2$ au point $(a,b)$, alors $\nabla f$ peut être égal à $2\nabla_g$.

$\checkedbox$ Si $\nabla_f=2\nabla_g$, alors $(a,b)$ n'est pas un maximum local pour $f$ sur $\mathbb {R}^2$.

$\square$ Si $\nabla_f = 2\nabla g$, alors $f$ atteint au point $(a,b)$, soit son maximum, soit son minimum sur $A$.

Exercice 18.4   Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}$ définies par $f(x,y)=x^4+y^4-xy$ et $g(x,y)=x^2-y$. On note $A=\{(x,y)\,,\;g(x,y)=0\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies ?

$\square$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, alors $a=b=0$.

$\checkedbox$ Les points de $\mathbb {R}^2$ où le gradient de $f$ s'annule sont $(0,0)$, $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ et $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.

$\square$ Les trois points $(0,0)$, $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ et $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ sont des minima locaux de $f$.

$\checkedbox$ Le point $(0,0)$ est un point selle.

$\square$ Les points $(0,0)$ et $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ sont des points de $A$.

$\square$ Le seul point de $A$ où la restriction de $f$ à $A$ peut atteindre son minimum est $(0,0)$.

$\square$ On ne peut pas savoir si la restriction de $f$ à $A$ atteint son minimum en $(0,0)$.

$\checkedbox$ Le point $(0,0)$ n'est pas un minimum pour la restriction de $f$ à $A$.

$\checkedbox$ La restriction de $f$ à $A$ atteint son minimum en un point dont l'abscisse est comprise entre $0.59$ et $0.6$.

Exercice 18.5   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}^2$ qui à $(x,y)$ associe
$\Phi(x,y)=(u,v)$, avec $u=x^2+y^2$, $v=x^2-y^2$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies ?

$\checkedbox$ $\Phi$ est continûment différentiable sur $\mathbb {R}^2$.

$\checkedbox$ si $(u,v)=\Phi(x,y)$, alors $-u\leq v\leq u$.

$\square$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $\mathbb {R}^2$ sur lui même.

$\square$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,+\infty[^2$ sur lui même.

$\checkedbox$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,+\infty[^2$ sur son image.

$\checkedbox$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,+\infty[^2$ sur $\{(u,v)\,,\;-u<v<u\}$.

$\square$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,1[^2$ sur $\{(u,v)\,,\;0<u+v<1\,,\;0<u-v<1\}$.

$\checkedbox$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,1[^2$ sur $\{(u,v)\,,\;-u<v<u\,, \; u-2<v<2-u \}$.

$\checkedbox$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]\!-1\!,0[^2$ sur $\{(u,v)\,,\;-\!u<v<u\,, \; u\!-\!2<v<2\!-\!u \}$.

$\checkedbox$ Si $D=\{(x,y)\,,\;0<y<x\,,\;x^2+y^2<1\}$, alors $\Phi$ est un difféomorphisme de $D$ sur son image $\Delta$.

$\square$ Si $D=\{(x,y)\,,\;0<y<x\,,\;x^2+y^2<1\}$, alors $\Phi(D)=D$.

$\checkedbox$ Si $D=\{(x,y)\,,\;0<y<x\,,\;x^2+y^2<1\}$, alors $\Phi(D)=\{(u,v)\,,\;0<u<1\,,\;0<v<u\}$.

$\checkedbox$ La matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(x,y)$ est inversible si et seulement si $x\neq 0$ et $y\neq 0$.

$\square$ Si $x>0$ et $y>0$, alors le déterminant jacobien de $\Phi$ au point $(x,y)$ est strictement positif.

Exercice 18.6   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}^2$ qui à $(x,y)$ associe
$\Phi(x,y)=(u,v)$, avec $u=x^2+y^2$, $v=x^2-y^2$. On pose $f(x,y)=\sin(x^4-y^4)$ et $g(u,v)=\sin(uv)$. Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes ?

$\square$ $MJ(f)(1,0)=MJ(g)(1,0)\,MJ(\Phi)(1,0)$

$\checkedbox$ $MJ(f)(1,0)=MJ(g)(1,1)\,MJ(\Phi)(1,0)$

$\square$ $MJ(g)(1,1)=MJ(f)(1,0)\,MJ(\Phi^{-1})(1,1)$

$\square$ $${ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u}+ \frac{\partial g}{\partial v} }$$

$\checkedbox$ $${ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u}\f... ...al u}{\partial x}+ \frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} }$$

$\checkedbox$ $\Delta g(u,v)=-(u^2+v^2)\sin(uv)$.

$\square$ $\Delta f(x,y)=12(x^2-y^2)\cos(x^4-y^4)+16(x^6+y^6)\sin(x^4-y^4)$.

Exercice 18.7   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}^2$ qui à $(x,y)$ associe
$\Phi(x,y)=(u,v)$, avec $u=x^2+y^2$, $v=x^2-y^2$. On pose $D=\{(x,y)\,,\;0<y<x\,,\;x^2+y^2<1\}$ et $\Delta=\{(u,v)\,,\;0<u<1\,,\;0<v<u\}$. Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes ?

$\square$ $${\int_D \,dxdy=\int_\Delta \,dudv}$$

$\checkedbox$ $${\int_D 8xy\,dxdy=\int_\Delta \,dudv}$$

$\square$ $${\int_D xy\,dxdy=\frac{1}{2}}$$

$\checkedbox$ $${\int_D xy\,dxdy=\frac{1}{16}}$$

$\square$ $${\int_D x^3y\,dxdy=\int_\Delta (u+v)\,dudv}$$

$\square$ $${ \int_D x^3y\,dxdy=\frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^1 (u+v)\,du\right)\,dv}$$

$\checkedbox$ $${ \int_D x^3y\,dxdy=\frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^u (u+v)\,dv\right)\,du}$$

$\checkedbox$ $${ \int_D x^3y\,dxdy=\frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_v^1 (u+v)\,du\right)\,dv}$$

$\checkedbox$ $${ \int_D x^3y\,dxdy=\frac{1}{32}}$$

$\square$ $${ \int_D xy^3\,dxdy=\frac{1}{16}\int_\Delta (u+v)\,dudv}$$

$\square$ $${ \int_D xy^3\,dxdy=\frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^v (u-v)\,dv\right)\,du}$$

$\checkedbox$ $${ \int_D xy^3\,dxdy=\frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^u (u-v)\,dv\right)\,du}$$

$\checkedbox$ $${ \int_D xy^3\,dxdy=\frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_v^1 (u-v)\,du\right)\,dv}$$

$\checkedbox$ $${ \int_D xy^3\,dxdy=\frac{1}{96}}$$

Exercice 18.8   On pose $D=\{(x,y)\,,\;0<x<\frac{\pi}{4}\,,\;0<y<\frac{\pi}{4}\}$. Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes ?

$\square$ $${ \int_D \cos(xy)\,dxdy = \left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\,dx\right)^2 }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = \left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\,dx\right)^2- \left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin(x)\,dx\right)^2 }$$

$\square$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}+y\right)\,dy }$$

$\square$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(y)+\sin(y)\,dy }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(y)-\sin(y)\,dy }$$

$\square$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = \sqrt{2}+1 }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = \sqrt{2}-1 }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \cos(x+y)\,dxdy = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\int_0^x \cos(x+y)\,dy\right)\,dx }$$

Exercice 18.9   On pose $D=\{(x,y)\,,\;0<x<\frac{\pi}{4}\,,\;0<y<x\}$. Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes ?

$\checkedbox$ $${ \int_D \sin(x+y)\,dxdy =\frac{\sqrt{2}-1}{2} }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \sin(x)\,dxdy =\frac{\sqrt{2}}{8}(4-\pi) }$$

$\square$ $${ \int_D \cos(x)\,dxdy =\frac{\sqrt{2}}{8}(4+\pi) }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \sin(2x)\,dxdy =\frac{1}{4} }$$

$\square$ $${ \int_D \cos(2x)\,dxdy =-\frac{1}{4} }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D \sin^2(x)\,dxdy =\frac{\pi^2}{64}-\frac{\pi}{16}+\frac{1}{8} }$$

$\square$ $${ \int_D \cos^2(x)\,dxdy =\frac{\pi^2}{64}+\frac{\pi}{16}+\frac{1}{8} }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D 8xy\cos(x^2+y^2)\,dxdy =2\cos(\pi^2/16)-\cos(\pi^2/8)-1 }$$

$\square$ $${ \int_D 8xy\sin(x^2+y^2)\,dxdy =2\sin(\pi^2/16)-\sin(\pi^2/8)-1 }$$

Exercice 18.10   On pose $D=\{(x,y)\,,\;x^2+y^2<1\}$. Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes ?

$\square$ $${ \int_D (x^2+y^2)^{-1/2}\,dxdy=\pi }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D x\,dxdy=0 }$$

$\square$ $${ \int_D (x+y)\,dxdy=1 }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D (x+y)^2\,dxdy=\frac{\pi}{2} }$$

$\square$ $${ \int_D \frac{(x+y)^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy=\frac{\pi}{3} }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D (x+y)^2\sqrt{x^2+y^2}\,dxdy=\frac{2\pi}{5} }$$

$\checkedbox$ $${ \int_D (x^2+y^2)\cos(x^2+y^2)\,dxdy=\pi(\cos(1)+\sin(1)-1) }$$

$\square$ $${ \int_D (x+y)^2\cos(x^2+y^2)\,dxdy=\pi(\cos(1)+\sin(1)) }$$

Chapitre : Fonctions de plusieurs variables
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