Chapitre : Equations différentielles
Précédent : Systèmes linéaires à coefficients constants
Suivant : Utilisation des transformées de Laplace

Equations linéaires d'ordre d

Une équation linéaire à coefficients constants d'ordre $d$ se ramène à un cas particulier de système linéaire. Considérons l'équation :

$$y^{(d)}(t) = a_0 y(t) + a_1 y'(t) +\cdots+ a_{d-1} y^{(d-1)}(t)\;,$$ (17.4.6)

où $a_0, a_1,\ldots, a_{d-1}$ sont $d$ coefficients réels. Avant d'énoncer le résultat qui donne la solution générale de (17.4.6), commençons par chercher une solution sous la forme $y(t) = e^{\lambda t}$. On a alors $y'(t)=\lambda\,e^{\lambda t}$, $y''(t) = \lambda^2\,e^{\lambda t}$, ...,  $y^{(d)}(t) = \lambda^d\,e^{\lambda t}$. Si on reporte ces expressions dans (17.4.6), on peut simplifier par $e^{\lambda t}$ qui est toujours non nul. On obtient alors l'équation suivante en $\lambda$.

$$\lambda^d=a_0+a_1\lambda+\cdots+a_{d-1}\lambda^{d-1}\;.$$ (17.4.7)

Cette équation porte le nom d'équation caractéristique associée à l'équation (17.4.6). C'est la condition pour que $y(t) = e^{\lambda t}$ soit solution de (17.4.6). La solution générale de (17.4.6) s'exprime à l'aide des racines de l'équation caractéristique associée.

Proposition 17.4.1   Notons $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ les racines (réelles ou complexes) de l'équation caractéristique (17.4.7) et $m_1,\ldots,m_k$ leurs multiplicités. Toute solution de l'équation linéaire d'ordre $d$ (17.4.6) s'écrit :

$$y(t) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{m_i-1} \alpha_{i,j} t^j e^{\lambda_i t}\;,$$ (17.4.8)

où les $d$ coefficients $\alpha_{i,j}\,,\;i=1,\ldots,k\,,\;j=0,\ldots,m_i\!-\!1$ sont réels ou complexes.

En pratique, pour déterminer une solution vérifiant $d$ conditions particulières, il suffit de calculer ses coefficients $\alpha_{i,j}$ en résolvant un système linéaire ordinaire, de $d$ équations à $d$ inconnues. Considérons par exemple l'équation suivante :

$$y'''(t) = y(t)+y'(t)-y''(t)\;.$$

L'équation caractéristique associée est :

$$\lambda^3 = 1+\lambda-\lambda^2\;.$$

Cette équation a pour racines $1$ (racine simple) et $-1$ (racine double). Toute solution de l'équation différentielle s'écrit donc :

$$y(t) = ae^t+be^{-t}+cte^{-t}\;.$$

Pour trouver la solution qui vérifie $y(0)=-1$, $y'(0)=1$, $y''(0)=0$, on résout le système suivant.

$$\left\{ \begin{array}{lcr} a+b &=&-1\\ a-b+c&=&1\\ a+b-2c&=&0 \end{array}\right.$$

La solution est $a=\frac{1}{4}$, $b=-\frac{5}{4}$, $c=-\frac{1}{2}$. La fonction cherchée est donc :

$$y(t) = \frac{1}{4} e^t - \frac{5}{4}e^{-t} -\frac{1}{2}t e^{-t}\;.$$

Jusqu'ici, les solutions d'un système ou d'une équation linéaire ont été données sous forme complexe. Or dans la pratique, ce sont des solutions réelles que l'on cherche. Si une équation polynomiale à coefficients réels admet une racine complexe, elle admet aussi pour racine le complexe conjugué. Supposons que $\lambda=\alpha+i\beta$ soit racine de l'équation caractéristique associée (17.4.7), alors $\overline\lambda = \alpha-i\beta$ est aussi racine. Donc $e^{\lambda t}$, $e^{\overline\lambda t}$ et toutes leurs combinaisons linéaires sont solutions de (17.4.6). En particulier :

$$\frac{1}{2}(e^{\lambda t}+e^{\overline\lambda t}) = e^{\alpha t}\cos(\beta t)$$   et$$\quad \frac{1}{2i}(e^{\lambda t}-e^{\overline\lambda t}) = e^{\alpha t}\sin(\beta t) \;.$$

Parmi les solutions réelles de (17.4.6), on trouvera donc toutes les combinaisons linéaires de ces deux fonctions.

Considérons par exemple l'équation suivante.

$$y''(t)=-y(t)-y'(t)\;.$$

L'équation caractéristique associée est :

$$\lambda^2=-1-\lambda\;.$$

Ses racines sont :

$$j=-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt 3}{2}$$   et$$\quad \overline j =-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt 3}{2}\;.$$

Toute solution réelle de l'équation différentielle s'écrit :

$$y(t) = ae^{-t/2}\cos(t\sqrt 3/2)+be^{-t/2}\sin(t\sqrt 3/2)\;.$$

Cette équation pourrait correspondre aux petites oscillations d'un pendule en milieu visqueux. Les solutions trouvées tendent vers 0, avec des oscillations exponentiellement atténuées.

Chapitre : Equations différentielles
Précédent : Systèmes linéaires à coefficients constants
Suivant : Utilisation des transformées de Laplace