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Valeurs propres et vecteurs propres

Si $A$ et $D$ sont deux matrices telles que $P^{-1}AP = D$, alors $AP=PD$. Mais si $D$ est une matrice diagonale, multiplier $P$ à droite par $D$ revient à multiplier les vecteurs colonnes de $P$ par les coefficients diagonaux de $D$. Notons $V_i$ le $i$-ième vecteur colonne de la matrice $P$ et $\lambda_i$ le $i$-ième coefficient diagonal de $D$. Pour tout $i=1,\ldots,d$, on doit avoir :

$$AV_i = \lambda_iV_i \Longleftrightarrow (A-\lambda_i I)V_i = 0\;,$$

en notant $I$ la matrice identité de dimension $d$. On dit que $V_i$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda_i$.

Définition 12.2.1   On dit que $V$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ si $V$ est un vecteur non nul et :

$$AV = \lambda V \Longleftrightarrow (A-\lambda I)V = 0\;.$$

Observons que $\lambda$ ne peut être une valeur propre de $A$ que si le système $(A-\lambda I) V=0$ a une solution non nulle. Voici 2 manières équivalentes de l'exprimer (cf. Chapitre "Calcul matriciel'').

Proposition 12.2.2   Un scalaire $\lambda$ est valeur propre de la matrice $A$ si et seulement si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée.

1. Le rang de la matrice $A-\lambda I$ est strictement inférieur à $d$.
2. Le déterminant de la matrice $A-\lambda I$ est nul :
   $$Det(A-\lambda I) = 0\;.$$

Si $\lambda$ est une valeur propre, l'ensemble des vecteurs $V$ tels que $(A-\lambda I) V=0$, est un sous-espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et tous les vecteurs propres de $A$ associés à $\lambda$. On l'appelle le " sous-espace propre'' associé à $\lambda$. Remarquons qu'un même vecteur propre ne peut être associé qu'à une seule valeur propre. Par conséquent, deux sous-espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes ont une intersection réduite au vecteur nul.

Si une matrice $A$ est diagonalisable ( $P^{-1}AP = D$), alors les vecteurs colonnes de la matrice de passage $P$ sont des vecteurs propres de $A$. Mais pour être une matrice de passage, $P$ doit être inversible, c'est à dire que ses $d$ vecteurs colonnes doivent former une base. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit diagonalisable est donc qu'elle admette $d$ vecteurs propres formant une base.

Théorème 12.2.3   Une matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si elle admet $d$ vecteurs propres linéairement indépendants.

Le résultat théorique le plus important concernant les vecteurs propres est le suivant.

Théorème 12.2.4   Soient $V_1,\ldots,V_k$ des vecteurs propres associés respectivement à des valeurs propres $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$, toutes distinctes. Alors la famille de vecteurs $\{V_1,\ldots,V_k\}$ est une famille libre.

Démonstration :  Nous allons montrer par récurrence sur $k$ que :

$$\sum_{i=1}^k \alpha_i V_i = 0 \Longrightarrow \alpha_i=0\;,\;\forall i=1,\ldots,k\;.$$

C'est vrai pour $k=1$, puisque par définition un vecteur propre est nécessairement non nul. Supposons la propriété vraie à l'ordre $k\!-\!1$. Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ des valeurs propres distinctes deux à deux et $V_1,\ldots,V_k$ des vecteurs propres associés. Supposons :

$$\sum_{i=1}^k \alpha_i V_i = 0 \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i V_i = -\alpha_k V_k\;.$$

En multipliant à gauche par la matrice $A$, on obtient :

$$\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i \lambda_i V_i = -\alpha_k \lambda_k V_k\;.$$

Mais on a aussi :

$$\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i \lambda_k V_i = -\alpha_k \lambda_k V_k\;.$$

Soit en soustrayant les deux équations :

$$\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i (\lambda_i-\lambda_k) V_i = 0\;.$$

D'après l'hypothèse de récurrence à l'ordre $k\!-\!1$, ceci entraîne que pour tout $i=1,\ldots,k\!-\!1$, $\alpha_i(\lambda_i-\lambda_k)=0$, donc $\alpha_i=0$, puisque $\lambda_i\neq \lambda_k$. Mais alors nécessairement $\alpha_k V_k$ est nul, donc $\alpha_k=0$ puisque le vecteur propre $V_k$ est non nul.$\square$

Ce théorème a deux conséquences pratiques importantes, qui sont rassemblées dans le corollaire suivant.

Corollaire 12.2.5    

1. Une matrice de taille $d\times d$ admet au plus $d$ valeurs propres distinctes.
2. Si une matrice $A$ de taille $d\times d$ admet $d$ valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable.

Démonstration :  Dans un espace de dimension $d$, une famille libre comporte au plus $d$ vecteurs, il ne peut donc pas y avoir plus de $d$ vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Si on a $d$ valeurs propres distinctes, alors une famille de vecteurs propres dont chacun est associé à une des valeurs propres est nécessairement libre d'après le théorème précédent. Comme elle comporte $d$ vecteurs, c'est une base.$\square$

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