Chapitre : Diagonalisation des matrices
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Matrices diagonales

Nous nous plaçons dans $\mathbb {R}^d$ ou $\mathbb {C}^d$, avec $d\geq 2$. Les éléments de $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à $d$ lignes et $d$ colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à $d$ lignes et $1$ colonne.

Une matrice $A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,d}$ est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

$$\forall i\neq j\;,\quad a_{i,j}=0\;.$$

Elle est donc de la forme :

$$A= \left( \begin{array}{cccccccc} \lambda_1&0&\ldots&\ldots&... ... 0&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&0&\lambda_d \end{array}\right)$$

Pour comprendre le rôle des coefficients diagonaux, supposons tout d'abord qu'ils sont tous égaux à $\lambda$. Dans ce cas, $A$ est proportionnelle à la matrice identité : $A=\lambda I$. Pour tout vecteur $x$ de $\mathbb {R}^d$, la vecteur $A x$ est proportionnel à $x$ : $Ax = \lambda x$. Multiplier le vecteur $x$ par la matrice $A$ revient à le multiplier par le facteur $\lambda$. Géométriquement, c'est effectuer une homothétie de rapport $\lambda$. Supposons maintenant que les coefficients diagonaux soient quelconques. Considérons une base $(e_1,\ldots,e_d)$ de $\mathbb {R}^d$, et examinons l'endomorphisme $f$ de $\mathbb {R}^d$, de matrice $A$ dans cette base. Dire que $A$ est diagonale, c'est dire que l'image du vecteur $e_i$ de la base est $\lambda_i e_i$. Si on restreint $f$ à la direction $e_i$, $f$ est une homothétie de rapport $\lambda_i$ (voir figure ci-après). Si $x$ est un vecteur quelconque de $\mathbb {R}^d$, $x$ s'écrit $\sum x_i\,e_i$. Son image par $f$ est :

$$f(x) = \sum_{i=1}^d x_i f(e_i) = \sum_{i=1}^d x_i \lambda_i\,e_i\;.$$

Endomorphisme du plan, de matrice diagonale. Les coefficients diagonaux sont 2 et -1.
Les matrices diagonales sont particulièrement simples à manipuler. Voici les propriétés principales :

$\bullet$ Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux.

$$Det(A) = \lambda_1\ldots\lambda_d\;.$$

$\bullet$ Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier la $i$-ième ligne par $\lambda_i$ : si $B=(b_{i,j})$ est une matrice quelconque, alors

$$AB = (\lambda_i \, b_{i,j})_{i,j=1,\ldots,d}\;.$$

$\bullet$ Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier la $j$-ième colonne par $\lambda_j$ : si $B=(b_{i,j})$ est une matrice quelconque, alors

$$BA = (b_{i,j}\,\lambda_j)_{i,j=1,\ldots,d}\;.$$

$\bullet$ Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

$$\left( \begin{array}{cccc} \lambda_1&0&\ldots&0\\ 0&\ddots... ...dots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&\lambda_d\mu_d \end{array}\right)$$

$\bullet$ Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, la matrice est inversible :

$$\left( \begin{array}{cccc} \lambda_1&0&\ldots&0\\ 0&\ddots... ...\ddots&0\\ 0&\ldots&0&\frac{1}{\lambda_d} \end{array}\right)$$

$\bullet$ La puissance $n$-ième d'une matrice diagonale est :

$$\left( \begin{array}{cccc} \lambda_1&0&\ldots&0\\ 0&\ddots... ...&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&\lambda_d^n \end{array}\right)$$

Voici deux systèmes linéaires d'équations.

$$(a) \left\{ \begin{array}{rrrcr} &y&+z&=&1 \\ [2ex] -\frac{... ...&&=&0 \\ [2ex] &-y&&=&-1\\ [2ex] &&2z&=&0 \end{array}\right.$$

Voici deux systèmes linéaires d'équations de récurrence.

$$(a) \left\{ \begin{array}{lcrrr} u_{n+1} &=&&v_n&+w_n \\ [2... ...v_{n+1}&=& &-v_n&\\ [2ex] w_{n+1}&=&&&2w_n \end{array}\right.$$

Voici deux systèmes linéaires d'équations différentielles.

$$(a) \left\{ \begin{array}{lcrrr} x'(t) &=&&y(t)&+z(t) \\ [2... ...] y'(t)&=& &-y(t)&\\ [2ex] z'(t)&=&&&2z(t) \end{array}\right.$$

Les trois problèmes, de natures très différentes, ont en commun leur écriture matricielle, avec les deux matrices suivantes.

$$A= \left( \begin{array}{rrr} 0&1&1\\ [2ex] -\frac{1}{2}&\fr... ... 1&0&~~0\\ [2ex] 0&-1&~~0\\ [2ex] 0&0&~~2 \end{array}\right)$$

Tous les problèmes linéaires sont plus faciles à résoudre quand la matrice est diagonale !

Il se trouve que les deux matrices $A$ et $D$ sont semblables, c'est à dire qu'elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes, ou encore, il existe une matrice de passage $P$ telle que $P^{-1}AP = D$.

$$\stackrel{ \underbrace{ \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{2... ...~0\\ [2ex] 0&-1&~~0\\ [2ex] 0&0&~~2 \end{array}\right) }}{D}$$

Définition 12.1.1   Une matrice $A$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

L'objectif de ce chapitre est d'apprendre à diagonaliser une matrice, quand c'est possible.

Définition 12.1.2   Diagonaliser une matrice $A$, c'est trouver une matrice de passage $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que :

$$P^{-1}A P = D \Longleftrightarrow A = PDP^{-1}\;.$$

Pour illustrer l'intérêt de la diagonalisation, prenons l'exemple d'un système d'équations de récurrence linéaire, du type $U_{n+1} = A\,U_n$, où $U_n$ désigne un vecteur dont on souhaite connaître l'expression en fonction de $n$. Du point de vue théorique, il n'y a pas de problème :

$$U_n = A^n\,U_0\;.$$

Mais cela n'avance à rien si on ne sait pas calculer formellement l'expression de $A^n$ en fonction de $n$. C'est possible si $A$ est diagonalisable. En effet, si $A=PDP^{-1}$ :

$$A^n = PDP^{-1}\,PDP^{-1}\ldots PDP^{-1}= PD^nP^{-1}\;.$$

Ecrire $D^n$ est immédiat. On en déduit l'expression générale de $A^n$, donc de $U_n$. Dans l'exemple ci-dessus, on trouve :

$$A^n = \left( \begin{array}{rrr} \frac{(-1)^n}{2}+\frac{1}{2... ...rac{2^n}{2}& \frac{(-1)^n}{2}+\frac{2^n}{2} \end{array}\right)$$

Nous étudierons une méthode analogue pour la résolution des systèmes linéaires d'équations différentielles au chapitre Equations différentielles.

Les problèmes linéaires que l'on rencontre en pratique sont souvent de très grandes dimensions (parfois des milliers). Nous nous limiterons dans nos calculs aux dimensions $2$ et $3$. Le calcul formel d'une diagonalisation n'est possible que jusqu'à la dimension 4 puisqu'il implique de trouver les racines d'un polynôme dont le degré est la dimension (seules les équations polynomiales de degré $\leq 4$ sont résolubles par radicaux). En grande dimension, il existe des méthodes numériques pour calculer des diagonalisations approchées.

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