Université René Descartes - Paris 5
UFR de Mathématiques et Informatique

Mathématiques et Calcul : examen, 24 mai 2005

L1 : Licence sciences et technologies,
mention mathématiques, informatique et applications

Nombre de pages de l'énoncé : 4. Durée 1 heure 30 minutes.

NB : L'examen se compose de 10 questions indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie les lettres des 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont données rapporte 2 points. Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

SUJET 1

Question 1  

A : VRAI. Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $${\sum \frac{u_n}{n}}$$ converge.

B : FAUX. Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum n\,u_n$ converge.

C : VRAI. Si la série $\sum u_n$ est absolument convergente, alors la série $\sum u_n^2$ converge.

D : FAUX. Si la suite $(u_n)$ tend vers $0$, alors la série $\sum u_n$ converge.

E : FAUX. Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum u_n^2$ converge.

Question 2   Dans cette question on considère l'équation différentielle

$(E)\qquad y'(t)=y(t)/t^{2}+1/t^{2}$.

A : FAUX. $y(t)=1-e^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack -\infty ,0\lbrack$.

B : FAUX. $y(t)=2e^{1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

C : VRAI. $y(t)=-1+e^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

D : FAUX. $y(t)=2e^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb {R}$.

E : VRAI. La solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$ vérifiant $y(1)=-1$ est constante.

Question 3   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $${f(t)=\frac{t}{t^2+1}}$$.

A : VRAI. Soit $g$ une fonction définie et continue sur $[0,2]$ telle que $${\int_0^2\vert g(t)\vert f(t)\,dt=0}$$. Alors pour tout $t\in [0,2]$, $g(t)=0$.

B : FAUX. $${\int_0^2 f(t)\,dt > \int_0^2 t\,dt}$$.

C : FAUX. $${\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} }$$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur l'intervalle $[0,2]$.

D : FAUX. $${\int_0^2f(t)\,dt=\ln(5)}$$.

E : VRAI. $${\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n^2+k^2}}$$ tend vers $${\int_0^2f(t)\,dt}$$ quand $n$ tend vers l'infini.

Question 4  

A : VRAI. La série $${\sum\frac{(-1)^{n}}{n\ln(n)}}$$ converge.

B : FAUX. La série $${\sum\frac{(1+\cos(n))(n^{2}+1)}{(\ln(n))^{2}\sqrt{n^{6}+2n+3}}}$$ diverge.

C : VRAI. La série $${\sum\frac{2^{n}\sin(1+\sqrt{n})}{n!}}$$ converge.

D : FAUX. La série $${\sum\frac{(-1)^{n}}{n\ln(n)}(1+(-1)^{n})}$$ converge.

E : FAUX. La série $${\sum\frac{2^{n}+n}{n^{2}2^{n}}}$$ diverge.

Question 5   On considère l'application $f$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}$ définie par $${f(x,y)=x^2+y^2-\frac{1}{2}xy}.$$

A : VRAI. $${\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)=2}$$.

B : VRAI. Le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est $${\left(\begin{array}{c} 2a-b/2\\ 2b-a/2 \end{array}\right).}$$

C : FAUX. La matrice hessienne de $f$ au point $(0,0)$ est la matrice $${\left(\begin{array}{cc} 2& 1/2\\ 1/2& 2 \end{array} \right).}$$

D : FAUX. $(1,1)$ est un minimum local de $f$.

E : FAUX. $(0,0)$ est un maximum local de $f$.

Question 6   Dans cette question on suppose que les $a_n$ sont strictement positifs.

A : VRAI. Si $${\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_ {n+1}}{a_n}=2}$$ alors le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$ est $${\frac{1}{2}}$$.

B : FAUX. Si $R$ est le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$, alors la série $\sum a_n\,R^n$ est convergente.

C : VRAI. Si $R$ est le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$, alors pour tout $z$ tel que $\vert z\vert<R$, la série $\sum a_n\,z^n$ est absolument convergente.

D : FAUX. Si $${\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_ {n+1}}{a_n}=2}$$ alors le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$ est $2$.

E : FAUX. Si $\sum a_n$ converge alors le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n\,z^n$ est égal à $1$.

Question 7   Dans cette question on considère l'équation différentielle

$(E)\qquad y''(t)=6y'(t)-9y(t)$.

A : FAUX. $y(t)=e^{3t}-te^{3t}$ est l'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(1)=0$.

B : VRAI. $y(t)=e^{3t}-te^{3t}$ est une solution de $(E)$ vérifiant $y(1)=0$.

C : FAUX. $3$ est racine simple de l'équation caractéristique associée.

D : VRAI. Toutes les solutions de $(E)$ sont définies sur $\mathbb {R}$.

E : FAUX. $y(t)=t(e^{t}+e^{3t})$ est solution de $(E)$.

Question 8   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $${f(t)=\frac{1}{(t^2+4)^2}}$$. On pose $${I=\int_0^2f(t)\,dt}$$.

A : VRAI. L'intégrale de $f$ sur $\mathbb {R}$ converge.

B : FAUX. L'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty [$ diverge.

C : VRAI. $I=\displaystyle{\frac{1}{8}\left(\int_0^2\frac{1}{t^2+4}\,dt+\left[\frac{t}{t^2+4}\right]_0^2 \right)}$ .

D : FAUX. $${I=\int_0^1\frac{1}{(1+u^2)^2}\,du}$$.

E : FAUX. $I> \frac{2}{4^2}$.

Question 9   On considère $${D=\left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ 0<x<1,\ 0<y<1-x\right\rbrace}$$ et $${I=\int_{D}x^2y\,dxdy.}$$

A : FAUX. $${I=\left(\int_0^1 x^2\,dx\right)\left(\int_0^1 y\,dy\right)}$$.

B : VRAI. $${I=\int_0^1 \frac{y(1-y)^3}{3}\,dy}$$.

C : VRAI. $${I=\frac{1}{60}}$$.

D : FAUX. $${I=\int_0^1 x^2(1-x)^2\,dx}$$.

E : FAUX. Le domaine $D$ est un parallélogramme.

Question 10  

A : VRAI. $${\int_0^{+\infty} \sqrt{t+2}\ \sin\left(\frac{3}{(t+1)^2}\right)\,dt}$$ converge.

B : FAUX. $${\int_e^{+\infty }\frac{\ln(\ln t)}{t}\,dt}$$ converge.

C : FAUX. $${\int_{-\infty}^{+\infty}t^4\exp(-t^2)\,dt}$$ diverge.

D : FAUX. $${\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\,dt}$$ diverge.

E : VRAI. $${\int_0^{+\infty }\frac{dt}{t(\ln t)^2}}$$ diverge.