Université René Descartes - Paris 5
UFR de Mathématiques et Informatique

Mathématiques et Calcul : rattrapage, 20 juin 2005
L1 : Licence sciences et technologies,
mention mathématiques, informatique et applications
Nombre de pages de l'énoncé : 4. Durée 1 heure 30.

NB : L'examen se compose de 10 questions indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie les lettres des 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont données rapporte 2 points. Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

SUJET 1

Question 1   On définit la fonction $f$ qui à $t\in ]0,\pi[$, associe $${f(t)=\frac{\cos(t)}{\sqrt{\sin(t)}}}$$ .

A : (VRAI) L'intégrale de $f$ sur $]0,\pi[$ converge.

B : (FAUX) Pour tout $x\in ]0,\pi [$, $${\int_0^x f(t)\,dt=\int_{\pi-x}^{\pi}f(u)\,du}$$.

C : (FAUX) La fonction $t\mapsto \sqrt{\sin(t)}$ est une primitive de $f(t)$ sur $]0,\pi[$.

D : (FAUX) L'intégrale de $f$ sur $]0,\pi/2]$ diverge.

E : (VRAI) L'intégrale de $f$ sur $[\pi/4,\pi/2]$ est strictement positive.

Question 2   On définit la fonction $f$ qui à $t\in [0,1]$, associe $f(t)=\sqrt{t(2-t)}$. On pose: $I=\displaystyle{\int_0^2 f(t)dt}$.

A : (FAUX) Le changement de variable $t\mapsto u=t(2-t)$ est bijectif sur $[0,2]$.

B : (VRAI) Le changement de variable $t\mapsto u=2-t$ donne $${\int_0^2 tf(t)\,dt=2I - \int_0^2 tf(t)\,dt}$$.

C : (FAUX) Le changement de variable $t\mapsto v=t-1$ donne $${I=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\sqrt{1-v^2}\,dv}$$ .

D : (FAUX) $f$ admet une primitive définie sur $\mathbb {R}$.

E : (VRAI) $I=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ .

Question 3  

A : (FAUX) La série $${\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^4+2}}}$$ converge.

B : (FAUX) La série $${\sum \frac{n+1}{\ln(n)\sqrt{n^4+2}}}$$ converge.

C : (VRAI) La série $${\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^8+2}}}$$ converge.

D : (VRAI) La série $${\sum \frac{n^2+1}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2}}}$$ converge.

E : (FAUX) La série $${\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^3+2}}}$$ converge.

Question 4   On définit la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb {R}$, associe $${f(t)=\frac{t^2+1}{(t+3)(t^2-4)}}$$.

A : (VRAI) La décomposition en éléments simples de $f$ a la forme suivante:
$${f(t)=\frac{A}{t+3}+\frac{B}{t+2}+\frac{C}{t-2}}$$ .

B : (FAUX) Une primitive de $f(t)$ est $\ln(\vert(t+3)(t+2)^5(2-t)\vert).$

C : (FAUX) $f$ a une primitive définie sur $\mathbb {R}$.

D : (VRAI) $${\int_0^1 f(t)\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\cos^2(u))\sin(u)}{(3+\cos( u))(\cos^2( u)-4)}\,du}$$.

E : (FAUX) $${\int_0^1 f(t)\,dt= \int_0^{+\infty}\frac{e^{-3u}+e^{-u}}{(e^{-u}+3)(4-e^{-2u})}\,du}$$.

Question 5  

A : (FAUX) $${\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=1}$$

B : (VRAI) $${\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2}$$

C : (FAUX) $${\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=1}$$

D : (FAUX) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=1}$$

E : (VRAI) $${\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}}$$

Question 6  

A : (VRAI) La série $${\sum\frac{(n!)^3}{(3n)!}}$$ converge.

B : (FAUX) La série $${\sum\frac{1}{3n+1}}$$ converge.

C : (FAUX) La série $${\sum\frac{n!}{3^n}}$$ converge.

D : (FAUX) La série $${\sum\frac{(3n)!}{(n!)^3}}$$ converge.

E : (VRAI) La série $${\sum\frac{3^n}{n!}}$$ converge.

Question 7   Dans cette question on considère l'équation différentielle

$(E)\qquad y'(t)=\displaystyle{\frac{2t-1}{t^2}}y(t)+1$.

A : (FAUX) $y(t)=t^2(1+e^{-1/t})$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb {R}$.

B : (FAUX) $y(t)=2t^2e^{1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

C : (VRAI) $y(t)=t^2$ est solution de $(E)$ sur $]-\infty,0[$.

D : (FAUX) $y(t)=t^2(1-e^{1/t})$ est solution de l'équation homogène associée à $(E)$.

E : (VRAI) $y(t)=t^2(1-e^{1/t})$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

Question 8   Dans cette question on considère l'équation différentielle

$(E)\qquad y''(t)=2y'(t)-5y(t)$.

A : (FAUX) $y(t)=e^{t}$ est l'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$.

B : (VRAI) $y(t)=e^{t}\cos(2t)$ est une solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$.

C : (FAUX) L'équation caractéristique associée a deux racines réelles.

D : (VRAI) Pour tout $\varphi\in\mathbb {R}$, $y(t)=e^t\sin(2t-\varphi)$ est solution de $(E)$.

E : (FAUX) $y(t)=e^{t}\sin(t)$ est solution de $(E)$.

Question 9   On considère l'application $f$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}$ définie par $${f(x,y)=x^3+y^3-x^2y^2}.$$

A : (VRAI) Le gradient de $f$ au point $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ est nul.

B : (FAUX) La différentielle de $f$ au point $(0,0)$ est une application linéaire de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}^2$.

C : (VRAI) La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ est la matrice $${\frac{9}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& -2\\ -2& 1 \end{array} \right).}$$

D : (FAUX) $(0,0)$ est un minimum local de $f$.

E : (FAUX) $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ est un maximum local de $f$.

Question 10   On considère $${D=\left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ 0<x<1,\ x-1<y<x\right\rbrace}$$ et $${I=\int_{D}xy^2\,dxdy.}$$

A : (FAUX) $${I=\left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 y^2\,dy\right)}$$.

B : (VRAI) $${I=\int_0^1 \frac{y^2-y^4}{2}\,dy +\int_{-1}^0 \frac{y^2(y+1)^2}{2}\,dy}$$.

C : (VRAI) $${I=\frac{1}{12}}$$.

D : (FAUX) $${I=\int_0^1 \frac{1}{3}x(x-1)^3\,dx}$$.

E : (FAUX) Le domaine $D$ est un triangle.