Habilitation à Diriger des Recherches

Spécialité:

Mr Quentin MERIGOT (CNRS)

soutiendra le Lundi 17 Novembre 2014 à 11h30 Salle 1 - Tour IRMA

Titre:

De l'inférence géométrique au transport optimal numérique

Résumé:

Ce mémoire présente mes contributions aux aspects numériques et calculatoires de l'inférence géométrique, du transport optimal, du calcul des variations sous contrainte de convexité, et des flots-gradients dans l'espace de Wasserstein. Malgré leur apparente disparité, ces sujets ont en commun l'usage de d'outils d'analyse convexes et leurs avatars discrets qui apparaissent en géométrie algorithmique. Une première partie du mémoire est consacré à la simplification d'une version robuste de la fonction distance à un nuage de point, appelée distance à la mesure, qui a été introduite à la fin de ma thèse pour l'inférence géométrique en présence de données bruitées. Je montre que lorsque l'ensemble de point approche une forme de petite dimension intrinsèque, on peut construire une approximation simple et économe de cette fonction permettant l'estimation de courbures généralisées à partir d'un nuage de point bruité et de grande taille. Je montre en revanche, par une méthode probabiliste, qu'il est possible de construire des exemples de nuages de points de taille modeste dont la fonction distance à la mesure n'admet aucune d'approximation économe. La suite du mémoire concerne plusieurs problèmes inverses faisant aussi intervenir la courbure ou des notions proches. L'opérateur de Monge-Ampère est l'analogue fonctionnel de la courbure gaussienne, et apparaît dans de nombreux problèmes d'analyse et de géométrie: problème de Minkowski, problème du transport optimal, problème du réflecteur. Les équations aux dérivées partielles décrivant ces problème sont elliptiques et totalement non-linéaire, et posent de nombreuses difficultés aussi bien théoriques que numériques. Pour le problème du réflecteur, par exemple, il n'existe aucune méthode numérique efficace dont la convergence est garantie. La discrétisation naturelle de l'opérateur de Monge-Ampère d'une fonction convexe linéaire par morceaux fait intervenir un objet classique de géométrie algorithmique connu sous le nom de diagrammes de Laguerre. Nous montrons que cette discrétisation conserve certaines propriétés structurelles de l'opérateur de Monge-Ampère habituel, qui sont utiles aussi bien pour l'algorithmique que pour établir la convergence des solutions discrètes vers la solution continue. Nous montrons que combinée à une formulation variationnelle, cette discrétisation permet de les résoudre de manière très efficace les problèmes mentionnés. Finalement, nous utilisons ces idées pour construire la première discrétisation en espace de flots-gradients pour la distance de Wasserstein. Nous appliquons cette construction à la résolution numérique d'équations d'évolutions non-linéaires, comme l'équation des milieux poreux ou une équation modélisant le mouvement d'une foule en présence de congestion.

Mots-Clés:



Membres du Jury:

Rapporteurs:

Mr Yann BRENIER (Directeur de Recherche, CNRS et Ecole Polytechnique)
Mr José Antonio CARRILLO DE LA PLATA (Professeur, Impérial College)
Mr Herbert EDELSBRUNNER (Professeur, IST Austria)

Examinateurs:

Mr Eric BONNETIER (Professeur, Université Joseph Fourier-Université Grenoble Alpes)
Mr Jean-Daniel BOISSONNAT (Directeur de recherche, INRIA-Sophia Antipolis)
Mr Antonin CHAMBOLLE (Directeur de recherche, CNRS et Ecole Polytechnique)
Mr Bruno LEVY (Directeur de recherche, INRIA Nancy)
Mr Edouard OUDET (Professeur, Université Joseph Fourier- Université Grenoble-Alpes)