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Thèse de DOCTORAT Ondes localisées dans des systèmes mécaniques discrets excitables . Cette thèse étudie des ondes localisées pour certaines classes d'équations différentielles non linéaires décrivant des systèmes mécaniques excitables. Ces systèmes correspondent à une chaîne infinie de blocs reliés par des ressorts et qui glissent sur une surface en présence d'une force de frottement non linéaire dépendant de la vitesse. Nous analysons à la fois le modèle de Burridge-Knopoff (avec des blocs attachés à des ressorts tirés à une vitesse constante) et une chaîne de blocs libres glissant sur un plan incliné sous l'effet de la gravité. Pour une classe de fonctions de frottement non-monotones, ces deux systèmes présentent une réponse de grande amplitude à des perturbations au-dessus d'un certain seuil, ce qui constitue l'une des principales propriétés des systèmes excitables. Cette réponse provoque la propagation d'ondes solitaires ou de fronts, en fonction du modèle et des paramètres. Nous étudions ces ondes localisées numériquement et théoriquement pour une grande gamme de lois de frottement et de régimes de paramètres, ce qui conduit à l'analyse d'équations différentielles non linéaires avec avance et retard. Les phénomènes d'extinction de propagation et d'apparition d'oscillations sont également étudiés pour les ondes progressives. L'introduction d'une fonction de frottement linéaire par morceaux permet de construire explicitement des ondes localisées sous la forme d'intégrales oscillantes et d'analyser certaines de leurs propriétés telles que la forme et la vitesse des ondes. Une preuve de l'existence d'ondes solitaires est obtenue pour le modèle de Burridge-Knopoff pour un couplage faible. Version Anglais This thesis analyses localized travelling waves for some classes of non-linear lattice differential equations describing excitable mechanical systems. These systems correspond to an infinite chain of blocks connected by springs and sliding on a surface in the presence of a nonlinear velocity-dependent friction force. We investigate both the Burridge-Knopoff model (with blocks attached to springs pulled at constant velocity) and a chain of free blocks sliding on an inclined plane under the effect of gravity. For a class of non-monotonic friction functions, both systems display a large response to perturbations above a threshold, one of the main properties of excitable systems. This response induces the propagation of either solitary waves or fronts, depending on the model and parameter regime. We study these localized waves numerically and theoretically for a broad range of friction laws and parameter regimes, which leads to the analysis of nonlinear advance-delay differential equations. Phenomena of propagation failure and oscillations of the travelling wave profile are also investigated. The introduction of a piecewise linear friction function allows one to construct localized waves explicitly in the form of oscillatory integrals and to analyse some of their properties such as shape and wave speed. An existence proof for solitary waves is obtained for the excitable Burridge-Knopoff model in the weak coupling regime. Mots-Clés: ondes progressives localisées, ondes solitaires, fronts, équations différentielles sur réseau, systèmes mécaniques excitables, modèle de Burridge-Knopoff, frottement non linéaire ; équations différentielles avec avance-retard ; systèmes dynamiques linéaires par morceaux, extinction de propagation Membres du Jury: Rapporteurs: Mme Anna VAINCHTEIN (Professeure, Université de Pittsburgh) Mr Jean Pierre FRANÇOISE (Professeur, Universite Pierre MArie Curie) Examinateurs: Mr Michael HERRMANN (Professeur, Université de Münster) Mr Hidde de JONG (Directeur de recherche, INRIA) Mr Bruno LOMBARD (Chargé de recherche, CNRS HDR, LMA, Marseille) |
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