Thèse de DOCTORAT
Spécialité: Mathématiques Appliquées
Mr Mohamed Amin BENSASSI (Université de Grenoble)
soutiendra le Lundi 15 Avril 2013 à 14h00 Salle 1 - Tour IRMA
Titre:Analyse et Contrôle de Systèmes Dynamiques Polynomiaux
Ces travaux se sont déroulés sous la direction de Mr Guillaume JAMES (Professeur, Grenoble INP) et de Mr Antoine GIRARD (Maître de Conférence, Université Joseph Fourier)
Résumé:
Cette thèse présente une étude des systèmes dynamiques polynomiaux motivée à la fois par le
grand spectre d'applications de cette classe (modèles de réactions chimiques, modèles de circuits électriques ainsi que les modèles biologiques) et par la difficulté (voire incapacité) de la résolution théorique de tels systèmes. Dans une première partie préliminaire, nous présentons les polynômes multi-variés et nous introduisons les notions de forme polaire d'un polynôme (floraison) et de polynômes de Bernstein qui seront d'un grand intérêt par la suite. Dans une deuxième partie, nous considérons le problème d'optimisation polynomial dit POP. Nous
décrivons dans un premier temps les principales méthodes existantes permettant de résoudre ou
d'approcher la solution d'un tel problème. Puis, nous présentons deux relaxations linéaires se
basant respectivement sur le principe de floraison ainsi que les polynômes de Bernstein
permettant d'approcher la valeur optimale du POP. La dernière partie de la thèse sera consacré
aux applications de nos deux méthodes de relaxation dans le cadre des systèmes dynamiques
polynomiaux. Une première application s'inscrit dans le cadre de l'analyse d'atteignabilité: en
effet, on utilisera notre relaxation de Bernstein pour pouvoir construire un algorithme permettant
d'approximer les ensembles atteignables d'un système dynamique polynomial discrétisé. Une
deuxième application sera la vérification et le calcul d'invariants pour un système dynamique
polynomial. Une troisième application consiste à calculer un contrôleur et un invariant pour un
système dynamique polynomial soumis à des perturbations. Dans le contexte de l'invariance, on
utilisera la relaxation se basant sur le principe de floraison. Enfin, une dernière application sera
d'exploiter les principales propriétés de la forme polaire pour pouvoir étudier des systèmes
dynamiques polynomiaux dans des rectangles.
Mots-Clés:
Systèmes dynamiques, Optimisation polynomiale, Programmation linéaire, Contrôle, Abstraction
Membres du Jury:
Rapporteurs:
Mr Jean-Luc GOUZE (Directeur de Recherche, INRIA Sophia Antipolis)
Mr Didier HENRION (Directeur de recherche, CNRS)
Examinateurs:
Mr Anatoli IOUDITSKI (Professeur, Université Joseph Fourier)
Mr Nacim RAMDANI (Professeur, Université d'Orléans)
Mr Jean-Pierre RAYMOND (Professeur, Université de Toulouse)
(sans cadre)
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